Position d'une courbe par rapport à une tangente

Bonjour , voici mon DM

F est la fonction définie sur R par :
f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 7

et C sa courbe représentative dans un repère du plan . T est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 .

1- En utilisant les copies d'écran ci-dessous , conjecturer la position relative de C et T . ( voir photo ) $fichier math$

2- On se propose de démontrer ce résultat .

a) Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x .

b)En déduire le coefficient directeur de la tangente T .

c) Déterminer une équation de T .

d) Vérifier que , pour tout nombre réel x :
f(x) - (3x - 3 ) = (x-1)^2 (x-4)

e) Étudier le signe de ( x-1)^2 ( x-4) .

f) En déduire la position de C par rapport à T .

voici mes réponses :

pour la question 1) il faut conjecturer la position relative d'après les copies d'écran mais le problème c'est quand ne voit pas toute la courbe
pour la 2) a- j'ai trouvé que x^3 correspond à n=3 donc la dérivée de x^3 est 3x^2 alors f'(x) = 3x^2 - 12x + 12
pour la b- j'ai remplacé par 1 et j'ai trouvé 3

est-ce que c'est juste ?
sinon pour les autres questions je bloque trop

merci à ceux qui passeront du temps à m'aider

Bonjour,

Vu le graphique joint , tu ne peux que conjecturer que la courbe est en dessous de la tangente ( le point de contact étant le point de coordonnées ( 1,0) )

Les calculs suivants permettront de savoir si cette conjecture est vraie ou non : c'est le but de l'exercice.

2)Tes réponses au 2)a) et 2)b) sont bonnes.

Pour le 2)c) , utilise ton cours :

Equation de (T) : y=f'(1)(x-1) +f(1)

Tu comptes.

merci mtschoon de m'avoir répondu rapidement

il faut laisser l'équation telle qu'elle ou il faut la calculer ?

Tu remplaces f(1) et f'(1) par leurs valeurs et tu réduis l'équation au mieux.

j'ai remplacé et j'ai trouvé 3x - 3

Oui , l'équation y=3x-3 est bien l'équation de la tangente .

C'est pour cela qu'à la question suivante on te fait transformer f(x)-(3x-3) , pour trouver le signe et déduire mathématiquement la position de la courbe par rapport à (T)

il faut que je résous f(x) - ( 3x - 3) pour trouver ( x-1)^2(x-4) ????

Ce n'est pas une équation à résoudre , c'est une égalité à prouver.

Vu que l'on te demande seulement une vérification , pars de (x-1)²(x-4) , développe , simplifie et trouve f(x)-(3x-3)

j'ai développé (x-1)^2(x-4) mais je crois que je me suis trompé car j'ai trouvé -1x^2+1+8x

Revois ton calcul

(x-1)²(x-4)=(x²-2x+1)(x-4) après développement et simplifications , tu dois trouver $x^3$ -6x²+9x-4

Vu que $f(x)-(3x-3)=x^3$ -6x²+12x-7-(3x-3)=... $x^3$ -6x²+9x-4 , tu auras la réponse.

oui merci j'avais fais une erreur de calcul , je n'avais pas mis les parenthèses

pour la e) comment fait-on pour étudier le signe ?

Tu utilises la factorisation faite (x-1)²(x-4) ( elle est faite pour ça )

est-ce qu'il faut faire un tableau de signes ?

Tu peux , bien que ce ne soit pas indispensable vu qu'un carré est positif .

à part le tableau de signe je peux faire quoi d'autre ???

Tu étudies le signe de (x-4) , vu que (x-1)² ≥ 0

donc (x-4) est positive

Signe de (x-4) :

x - 4 = 0 <=> x = 4
x - 4 > 0 <=> x < 4
x - 4 < 0 <=> x < 4

Signe (x-1)² :

(x-1)² =0 <=> (x-1) = 0 <=> x = 1
(x-1)² > 0 <=> x ≠ 1

pour la dernière question f) Grafiquement, f(x) est représenté par la courbe C et (3x - 3) est représenté par la tangente.
On en conclut que pour x < 4, T est au dessus de C et que, pour x > 4 , T est au-dessous de C.

est-ce que c'est juste ?

Tes conclusions sont bonnes .
Pour la rédaction : y=f(x) est l'équation de (C) et y=3x-3 est l'équation de (T)
Tu peux ajouter que la courbe et la tangente ont deux points communs ( d'abscisse 1 et 4 ) .

Une remarque à faire : ce sont les CALCULS qui ont permis de connaître cette position relative exacte de (C) et de (T) , car le graphique joint ne permettait pas de voir correctement !

D'où la supériorité d'une démonstration mathématique ! ! !

merci beaucoup mtschoon pour votre aide précieuse et qui , je suis sure m'a apportée beaucoup notamment pour les révision de mon prochain contrôle

et j'espère à la prochaine fois

a+