Mettre un énoncé en équation et le résoudre

Bonjour
Un promoteur immobilier projette de construire un lotissement dont le nombre de maisons ne pourra pas dépasser 20 maisons construites. Le coût de production, en millions d'euros, pour n maisons construites (0≤n≤20) est donné par C(n)=0.3n+1.5-0.9ln(n+1)
Chaque maison étant vendue 250000euros
Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d'euros, donné par B(n)=-0.05n-1.5+0.9ln(n+1)
Déterminer le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal. Quel est alors ce bénéfice (à 100euros près)?
Voila j'aimerai juste savoir la démarche à suivre car je n'ai aucune idée de comment calculer un bénéfice
Merci d'avance

Bonjour,

Le bénéfice pour n maisons est P(n)-C(n) en appelant P le prix de vente et C le coût de production.

En millions d'euros le prix de vente d'une maison est P(1)=0.25

Donc , en millions d'euros le prix de vente de n maisons est P(n)=0.25n

$B (n) = P (n) - C (n) = 0.25 n - [0.3 n + 1.5 - 0.9 l n (n + 1)]$

Termine le calcul et tu trouveras le résultat souhaité.

je trouve 0.2n-1.5+0.9ln(n+1)
je ne trouve donc pas le bon résultat?

En changeant les signes ( car crochet précédé d'un signe - )

$B (n) = 0.25 n - 0.3 n - 1.5 + 0.9 l n (n + 1) = - 0.05 n - 1.5 + 0.9 l n (n + 1)$

Ah oui, autant pour moi
Donc pour calculer le bénéfice maximal je dois donc utiliser cette formule en fesant B(20)=... ?

Le maximum n'est pas forcément pour n=20

Etudie les variations de la fonction B pour n compris entre 0 et 20 ( dérivée , signe de la dérivée ) et tu en déduiras le maximum.

Donc B'= -0.05+(0.9/n+1)
Est ce que que je met tout sur le meme dénominateur ou je laisse comme ça?
Le signe de B' est positif et ensuite je fais b(20)=... et j'aurais donc le bénéfice maximal

Rien ne prouve que le maximum est B(20) !

Pour B' , je te conseille de réduire au même dénomintaur.
Comme ce dénominateur est positif , tu auras à étudier le signe du numérateur.

Dans ce cas B'= (-0.05n+0.85)/n+1
Ensuite pour étudier le sugne je fais donc -0.05n+0.85=0 donc n=17, puis je fais n+1=0 donc n=-1
mais le -1 n'est pas définie dans 0-20 donc je ne comprend pas :frowning2:

n+1=0 n'a aucun sens...

Tu as trouver n=17 qui annule B'(n) : c'est bon

Mais ce n'est pas suffisant .

Trouve le SIGNE de B'(n) et fais le tableau de variation de B sur [0,20]

Tu pourras ainsi prouver que le bénéfice maximal est pour n=17

Je ne comprend rien, vous allez dire que je suis vraiment nul...

Si je comprend bien:

n 0 17 20
B'(n) - +

Les signes de B'(n) sont inexacts

Tu as dû oublé de changement le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif

-0.05n+0.85 >0 <=> -0..5n > -0.85 <=> n < (-0.85)/(-0.5) <=> n < 17

Ah oui effectivement j'avais oublié de changer les signes donc:
n 0 17 20
B'(n) + -
Du coup on ne se préoccupe pas de n+1?

Je ne comprends ta préoccupation au sujet de (n+1).

Par contre , il faut que tu ajoute à ton tabeau une ligne pour B ( flèche "montante" puis flèche "descendante " )

Je trouve juste bizarre de laisser (n+1) sans rien faire alors qu'il fait parti de la fraction, mais vous avez certainement raison

Oui pour les flèches c'est fait en calculant B(0); B(17) et B(20)

Pour trouver le bénéfice maximal je fais B'(20) et pour le minimum B'(0)?

Pour n compris entre 0 et 20 , (n+1) est strictement positif donc le signe de B'(n) est le signe de son numérateur .

Pour trouver le Bénéfice maximal :

Analyse le tableau de variation et comprends sa signification.

B(n) augmente lorsque n vatie de 0 à 17
B(n) diminue lorsque n varie de 17 à 20

Le MAXIMUM est donc pour n=17 et il vaut B(17)

Calcule B(17) en remplaçant n par 17 dans B(n)

B(17)= 0.2513 à 100 euros près mais dans ce cas pour 17 maisons le bénéfice maximal est de 0?

Fais attention !

Relis l'énoncé .

Le bénéfice est exprimé enmillions d'euros

1million d'euros = 1000000 euros.

euh B(17)= 0.2513 millions d'euros
et pour le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille pas à perte est: b(0)?

B(17)= 0.25135 millions d'euros oui mais l'énoncé te demande à 100 euros près.

En euros B(17) ≈251335 euros

Tu l'arrondis "à 100 euros près"

Pour ta seconde question , tu confonds le nombre de maisons ( qui est n ) avec le bénéfice B(n)
Pour que le promoteur ne travaille pas à perte il faut B(n)≥0

B(n)≥0
-0.05n-1.5+0.9ln(n+1)≥0
-0.05n+0.9ln(n+1)≥1.5
mais apres je sais pas comment réduire :frowning2:

Cette équation ne peut pas être résolue algébriquement .

Utilise le tableau de variation de B

Pour n>17 , B(n) >0
Pour 0≤n≤17 , B est continue strictement croissante de B(0) ( négatif ) à B(17) positif

D'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe une valeur réelle α telle que
B(α)=0

A la calculette 6 < α <7

Donc pour n ≥ 7 , le bénéfice est positif.

Ah ok et bien merci beaucoup pour votre aide