Mettre un énoncé en équation et le résoudre


  • G

    Bonjour
    Un promoteur immobilier projette de construire un lotissement dont le nombre de maisons ne pourra pas dépasser 20 maisons construites. Le coût de production, en millions d'euros, pour n maisons construites (0≤n≤20) est donné par C(n)=0.3n+1.5-0.9ln(n+1)
    Chaque maison étant vendue 250000euros
    Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d'euros, donné par B(n)=-0.05n-1.5+0.9ln(n+1)
    Déterminer le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal. Quel est alors ce bénéfice (à 100euros près)?
    Voila j'aimerai juste savoir la démarche à suivre car je n'ai aucune idée de comment calculer un bénéfice 😕
    Merci d'avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Le bénéfice pour n maisons est P(n)-C(n) en appelant P le prix de vente et C le coût de production.

    En millions d'euros le prix de vente d'une maison est P(1)=0.25

    Donc , en millions d'euros le prix de vente de n maisons est P(n)=0.25n

    B(n)=P(n)−C(n)=0.25n−[0.3n+1.5−0.9ln(n+1)]B(n)=P(n)-C(n)=0.25n-[0.3n+1.5-0.9ln(n+1)]B(n)=P(n)C(n)=0.25n[0.3n+1.50.9ln(n+1)]

    Termine le calcul et tu trouveras le résultat souhaité.


  • G

    je trouve 0.2n-1.5+0.9ln(n+1)
    je ne trouve donc pas le bon résultat?


  • mtschoon

    En changeant les signes ( car crochet précédé d'un signe - )

    B(n)=0.25n−0.3n−1.5+0.9ln(n+1)=−0.05n−1.5+0.9ln(n+1)B(n)=0.25n-0.3n-1.5+0.9ln(n+1)=-0.05n-1.5+0.9ln(n+1)B(n)=0.25n0.3n1.5+0.9ln(n+1)=0.05n1.5+0.9ln(n+1)


  • G

    Ah oui, autant pour moi
    Donc pour calculer le bénéfice maximal je dois donc utiliser cette formule en fesant B(20)=... ?


  • mtschoon

    Le maximum n'est pas forcément pour n=20

    Etudie les variations de la fonction B pour n compris entre 0 et 20 ( dérivée , signe de la dérivée ) et tu en déduiras le maximum.


  • G

    Donc B'= -0.05+(0.9/n+1)
    Est ce que que je met tout sur le meme dénominateur ou je laisse comme ça?
    Le signe de B' est positif et ensuite je fais b(20)=... et j'aurais donc le bénéfice maximal


  • mtschoon

    Rien ne prouve que le maximum est B(20) !

    Pour B' , je te conseille de réduire au même dénomintaur.
    Comme ce dénominateur est positif , tu auras à étudier le signe du numérateur.


  • G

    Dans ce cas B'= (-0.05n+0.85)/n+1
    Ensuite pour étudier le sugne je fais donc -0.05n+0.85=0 donc n=17, puis je fais n+1=0 donc n=-1
    mais le -1 n'est pas définie dans 0-20 donc je ne comprend pas :frowning2:


  • mtschoon

    n+1=0 n'a aucun sens...

    Tu as trouver n=17 qui annule B'(n) : c'est bon

    Mais ce n'est pas suffisant .

    Trouve le SIGNE de B'(n) et fais le tableau de variation de B sur [0,20]

    Tu pourras ainsi prouver que le bénéfice maximal est pour n=17


  • G

    Je ne comprend rien, vous allez dire que je suis vraiment nul...

    Si je comprend bien:

    n 0 17 20
    B'(n) - +


  • mtschoon

    Les signes de B'(n) sont inexacts

    Tu as dû oublé de changement le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif

    -0.05n+0.85 >0 <=> -0..5n > -0.85 <=> n < (-0.85)/(-0.5) <=> n < 17


  • G

    Ah oui effectivement j'avais oublié de changer les signes donc:
    n 0 17 20
    B'(n) + -
    Du coup on ne se préoccupe pas de n+1?


  • mtschoon

    Je ne comprends ta préoccupation au sujet de (n+1).

    Par contre , il faut que tu ajoute à ton tabeau une ligne pour B ( flèche "montante" puis flèche "descendante " )


  • G

    Je trouve juste bizarre de laisser (n+1) sans rien faire alors qu'il fait parti de la fraction, mais vous avez certainement raison

    Oui pour les flèches c'est fait en calculant B(0); B(17) et B(20)

    Pour trouver le bénéfice maximal je fais B'(20) et pour le minimum B'(0)?


  • mtschoon

    Pour n compris entre 0 et 20 , (n+1) est strictement positif donc le signe de B'(n) est le signe de son numérateur .

    Pour trouver le Bénéfice maximal :

    Analyse le tableau de variation et comprends sa signification.

    B(n) augmente lorsque n vatie de 0 à 17
    B(n) diminue lorsque n varie de 17 à 20

    Le MAXIMUM est donc pour n=17 et il vaut B(17)

    Calcule B(17) en remplaçant n par 17 dans B(n)


  • G

    B(17)= 0.2513 à 100 euros près mais dans ce cas pour 17 maisons le bénéfice maximal est de 0?


  • mtschoon

    Fais attention !

    Relis l'énoncé .

    Le bénéfice est exprimé enmillions d'euros

    1million d'euros = 1000000 euros.


  • G

    euh B(17)= 0.2513 millions d'euros
    et pour le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille pas à perte est: b(0)?


  • mtschoon

    B(17)= 0.25135 millions d'euros oui mais l'énoncé te demande à 100 euros près.

    En euros B(17) ≈251335 euros

    Tu l'arrondis "à 100 euros près"

    Pour ta seconde question , tu confonds le nombre de maisons ( qui est n ) avec le bénéfice B(n)
    Pour que le promoteur ne travaille pas à perte il faut B(n)≥0


  • G

    B(n)≥0
    -0.05n-1.5+0.9ln(n+1)≥0
    -0.05n+0.9ln(n+1)≥1.5
    mais apres je sais pas comment réduire :frowning2:


  • mtschoon

    Cette équation ne peut pas être résolue algébriquement .

    Utilise le tableau de variation de B

    Pour n>17 , B(n) >0
    Pour 0≤n≤17 , B est continue strictement croissante de B(0) ( négatif ) à B(17) positif

    D'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe une valeur réelle α telle que
    B(α)=0

    A la calculette 6 < α <7

    Donc pour n ≥ 7 , le bénéfice est positif.


  • G

    Ah ok et bien merci beaucoup pour votre aide 😄


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