inégalité des accroissements finis.


  • O

    Bonjour, il me reste 2 question sur mon exercice, j'y est donné toute mon énergie en vain , si quelqu'un peut m'aider , ca serait super !

    la suite définie par
    $\left{\begin{matrix} u_{0}=0\ \forall n\in n , u_{n+1} = \sqrt{u_{n}+2} \end{matrix}\right.$

    1. Calculer f(2)

    2. Déduire que ∀n∈n,∣un+1−2∣≤12∣un−2∣\forall n \in n , \begin{vmatrix} u_{n+1}-2 \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2} \begin{vmatrix} u_{n}-2 \end{vmatrix}nn,un+1221un2

    puis que ∀n∈n,∣un−2∣≤12n∣u0−2∣\forall n \in n , \begin{vmatrix} u_{n}-2 \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2^{n}} \begin{vmatrix} u_{0}-2 \end{vmatrix}nn,un22n1u02
    Que peut on en déduire ?
    Cordialement, Benjamin . Merci d'avance !


  • L

    mon amis orland a tu déjà entendu parler du theoreme des accroissements finis?


  • O

    non jamais 🙂 merci de ta réponse !


  • M

    Bonjour,

    1. Qu'est-ce que f ?
    2. Tu peux aussi écrire :
      un+1u_{n+1}un+1 - 2 = √(un + 2) - 2 = [√(un + 2) - 2][√(un + 2) + 2]/[√(un + 2) + 2]
      = (un + 2 - 4)/(√(un+2) +2) et minorer le dénominateur.
    3. Démontre la formule par récurrence . On en déduit ensuite la limite de Un.

  • O

    il faut utiliser la théorie des accroissements finis.. mais ma prof nous a claqué cela sans explication, pas facile . Merci.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    orlandopiaf , ton énoncé est incomplet ...( comme te l'a signalé Mathtous )

    Pistes,

    je suppose que f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2}f(x)=x+2

    f(2)=2+2=2f(2)=\sqrt{2+2}=2f(2)=2+2=2

    Donc : un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un)

    Dans des questions précédentes , tu as peut-être prouvé que pour tout n de N :

    0≤un≤20\le u_n\le 20un2

    Sur [0,2] , tu prouves que∣f′(x)∣≤12|f'(x)|\le \frac{1}{2}f(x)21

    Inégalité des accroissement finis ( regarde la formule de ton cours ) :

    ∣f(un)−f(2)∣≤12∣un−2∣|f(u_n)-f(2)| \le \frac{1}{2} |u_n-2|f(un)f(2)21un2

    D'où : ∣un+1−2∣≤12∣un−2∣|u_{n+1}-2| \le \frac{1}{2} |u_n-2|un+1221un2

    Tu continues.


  • O

    ohh oui excusez mon innatention c'est bien ca ..

    non précedemment j'ai prouvé que
    pour tout x∈[o;+∞]ona∣f(x)−f(2)∣≤12∣x−2∣x \in \left[o; +\infty \right] on a \begin{vmatrix} f(x)-f(2) \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}x[o;+]onaf(x)f(2)21x2

    Merci beaucoup !


  • mtschoon

    C'est très bien si tu as compris .

    ( Je pense que tu as voulu écrire x ∈ [0 , +∞ [ )


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