inégalité des accroissements finis.
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Oorlandopiaf dernière édition par
Bonjour, il me reste 2 question sur mon exercice, j'y est donné toute mon énergie en vain , si quelqu'un peut m'aider , ca serait super !
la suite définie par
$\left{\begin{matrix} u_{0}=0\ \forall n\in n , u_{n+1} = \sqrt{u_{n}+2} \end{matrix}\right.$-
Calculer f(2)
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Déduire que ∀n∈n,∣un+1−2∣≤12∣un−2∣\forall n \in n , \begin{vmatrix} u_{n+1}-2 \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2} \begin{vmatrix} u_{n}-2 \end{vmatrix}∀n∈n,∣∣∣un+1−2∣∣∣≤21∣∣∣un−2∣∣∣
puis que ∀n∈n,∣un−2∣≤12n∣u0−2∣\forall n \in n , \begin{vmatrix} u_{n}-2 \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2^{n}} \begin{vmatrix} u_{0}-2 \end{vmatrix}∀n∈n,∣∣∣un−2∣∣∣≤2n1∣∣∣u0−2∣∣∣
Que peut on en déduire ?
Cordialement, Benjamin . Merci d'avance !
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Lleonel dernière édition par
mon amis orland a tu déjà entendu parler du theoreme des accroissements finis?
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Oorlandopiaf dernière édition par
non jamais
merci de ta réponse !
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
- Qu'est-ce que f ?
- Tu peux aussi écrire :
un+1u_{n+1}un+1 - 2 = √(un + 2) - 2 = [√(un + 2) - 2][√(un + 2) + 2]/[√(un + 2) + 2]
= (un + 2 - 4)/(√(un+2) +2) et minorer le dénominateur. - Démontre la formule par récurrence . On en déduit ensuite la limite de Un.
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Oorlandopiaf dernière édition par
il faut utiliser la théorie des accroissements finis.. mais ma prof nous a claqué cela sans explication, pas facile . Merci.
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
orlandopiaf , ton énoncé est incomplet ...( comme te l'a signalé Mathtous )
Pistes,
je suppose que f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2}f(x)=x+2
f(2)=2+2=2f(2)=\sqrt{2+2}=2f(2)=2+2=2
Donc : un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un)
Dans des questions précédentes , tu as peut-être prouvé que pour tout n de N :
0≤un≤20\le u_n\le 20≤un≤2
Sur [0,2] , tu prouves que∣f′(x)∣≤12|f'(x)|\le \frac{1}{2}∣f′(x)∣≤21
Inégalité des accroissement finis ( regarde la formule de ton cours ) :
∣f(un)−f(2)∣≤12∣un−2∣|f(u_n)-f(2)| \le \frac{1}{2} |u_n-2|∣f(un)−f(2)∣≤21∣un−2∣
D'où : ∣un+1−2∣≤12∣un−2∣|u_{n+1}-2| \le \frac{1}{2} |u_n-2|∣un+1−2∣≤21∣un−2∣
Tu continues.
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Oorlandopiaf dernière édition par
ohh oui excusez mon innatention c'est bien ca ..
non précedemment j'ai prouvé que
pour tout x∈[o;+∞]ona∣f(x)−f(2)∣≤12∣x−2∣x \in \left[o; +\infty \right] on a \begin{vmatrix} f(x)-f(2) \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}x∈[o;+∞]ona∣∣∣f(x)−f(2)∣∣∣≤21∣∣∣x−2∣∣∣Merci beaucoup !
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mtschoon dernière édition par
C'est très bien si tu as compris .
( Je pense que tu as voulu écrire x ∈ [0 , +∞ [ )