Montrer qu'une suite est géométrique et calculer sa limite



  • Bonjour, j'ai un exercice sur les suites que je ne réussi pas à commencer. Si quelqu'un peut m'aider SVP...??

    Voici l'énoncé:

    Soit(Un) la suite définie par U0=1 et pour tout naturel n, u²n+1= 2Un et Vn la suite définie par, pour tout natureln, Vn= ln (Un)-ln2

    1. Montrez que Vn est une suite géométrique.
    2. Calculez la limite de la suite Vn puis celle de Un

    Ce que j'ai fait:

    1. J'ai essayé de calculer V0; V1; V2 pour vois s'il la suite est géométrique mais je ne reussi pas.

    Queqlu'un peut m'aider SVP...?? :frowning2: 😕



  • Bonjour,

    Je pense que tu as justifié que (Un) est une suite à termes strictement positifs.

    Une piste pour démarrer le calcul ,

    Transforme l'expression qui caractérise la suite (Un)

    (Un+1)2=2Un(U_{n+1})^2=2U_n

    ln[(Un+1)2]=ln[2Un]ln[(U_{n+1})^2]=ln[2U_n]

    En transformant :

    2ln[(Un+1)=ln2+ln(Un)2ln[(U_{n+1})=ln2+ln(U_n)

    ln(Un+1)=12[ln2+ln(Un)]ln(U_{n+1})=\frac{1}{2}[ln2+ln(U_n)]

    Ensuite , calcules Vn+1

    Vn+1=ln(Un+1)ln2V_{n+1}=ln(U_{n+1})-ln2

    Tu continues de transformer en utilisant l'expression de ln(Un+1ln(U_{n+1})



  • V(n+1)=( 1/2 ln2)+(1/2 ln Un) - ln2



  • Remplace ln(Unln(U_n)-ln2 par VnV_n , pour obtenir Vn+1V_{n+1} en fonction de VnV_n



  • Je ne comprend pas, pouvez-vous m'aider un peu plus...?? :frowning2:



  • Bien sûr mais je vais finir par te faire tout le calcul ( et ce n'est pas le but...)

    Vn+1=12ln2+12ln(Un)ln2V_{n+1}=\frac{1}{2}ln2+\frac{1}{2}ln(U_n)-ln2

    Vn+1=12ln(Un)12ln2V_{n+1}=\frac{1}{2}ln(U_n)-\frac{1}{2}ln2

    Mets 1/2 en facteur et observe...



  • V(n+1)= 1/2[ln(Un)-ln2]



  • ln(Un)-ln2 =Vn donc.......................



  • donc Vn=Vn+1



  • Comment ?

    Tu sais que Vn+1V_{n+1}= 1/2[ln(Un1/2[ln(U_n)-ln2]

    Tu sais aussi que ln(Uln(U_n)ln2=Vn)-ln2=V_n

    Dans la première formule , tu n'as qu'à remplacer ln(Unln(U_n)-ln2 par VnV_n



  • donc Vn+1= 1/2 Vn



  • OUI !



  • merci beaucoup, je vais essayer les limites et je vous dirai ce que je trouve... 😉 😁



  • Pour la limite, est-ce que je dois faire en quelle limite..?? plus et moins l'infini..???



  • n tend vers +∞

    Pour une suite géométrique de raison q ( 0 < q < 1 ) , tu dois contraître la limite de la suite ( regarde ton cours ) .



  • la limite tend vers +∞



  • Non.

    Uns suite géométrique dont la raison est comprise entre 0 et 1 a pour limite 0



  • merci beaucoup pour votre aide... 😉


 

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