Montrer qu'une suite est géométrique et calculer sa limite

Bonjour, j'ai un exercice sur les suites que je ne réussi pas à commencer. Si quelqu'un peut m'aider SVP...??

Voici l'énoncé:

Soit(Un) la suite définie par U0=1 et pour tout naturel n, u²n+1= 2Un et Vn la suite définie par, pour tout natureln, Vn= ln (Un)-ln2

Ce que j'ai fait:

J'ai essayé de calculer V0; V1; V2 pour vois s'il la suite est géométrique mais je ne reussi pas.

Queqlu'un peut m'aider SVP...?? :frowning2:

Bonjour,

Je pense que tu as justifié que (Un) est une suite à termes strictement positifs.

Une piste pour démarrer le calcul ,

Transforme l'expression qui caractérise la suite (Un)

$U_{n+1})^2=2U_n$

$ln[(U_{n+1})^2]=ln[2U_n]$

En transformant :

$2ln[(U_{n+1})=ln2+ln(U_n)$

$ln(Un+1)=12[ln2+ln(Un)]ln(U_{n+1})=\frac{1}{2}[ln2+ln(U_n)]$

Ensuite , calcules Vn+1

$V_{n+1}=ln(U_{n+1})-ln2$

Tu continues de transformer en utilisant l'expression de $ln(U_{n+1}$ )

V(n+1)=( 1/2 ln2)+(1/2 ln Un) - ln2

Remplace $ln(U_n$ )-ln2 par $V_n$ , pour obtenir $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$

Je ne comprend pas, pouvez-vous m'aider un peu plus...?? :frowning2:

Bien sûr mais je vais finir par te faire tout le calcul ( et ce n'est pas le but...)

$Vn+1=12ln2+12ln(Un)−ln2V_{n+1}=\frac{1}{2}ln2+\frac{1}{2}ln(U_n)-ln2$

$Vn+1=12ln(Un)−12ln2V_{n+1}=\frac{1}{2}ln(U_n)-\frac{1}{2}ln2$

Mets 1/2 en facteur et observe...

V(n+1)= 1/2[ln(Un)-ln2]

ln(Un)-ln2 =Vn donc.......................

donc Vn=Vn+1

Comment ?

Tu sais que $V_{n+1}$ = $1/2[ln(U_n$ )-ln2]

Tu sais aussi que $l n (U$ _n $ln2=V_n$

Dans la première formule , tu n'as qu'à remplacer $ln(U_n$ )-ln2 par $V_n$

donc Vn+1= 1/2 Vn

OUI !

merci beaucoup, je vais essayer les limites et je vous dirai ce que je trouve...

Pour la limite, est-ce que je dois faire en quelle limite..?? plus et moins l'infini..???

n tend vers +∞

Pour une suite géométrique de raison q ( 0 < q < 1 ) , tu dois contraître la limite de la suite ( regarde ton cours ) .

la limite tend vers +∞

Non.

Uns suite géométrique dont la raison est comprise entre 0 et 1 a pour limite 0

merci beaucoup pour votre aide...