Montrer qu'une suite est croissante / géométrique

Bonjour, voici un autre exercice que je ne trouve, si quelqu'un peut m'aider à le faire...

Voila l'énoncé:

Soit la fonction f, définie sur R par:

f(x)= 80+ ae(bx)

Déterminez les réels a et b pour que la courbe représentative de f, dans un repére (O;I;J), passe par les points A(0;53) et B(3;60).

Dans une entreprise, on installe un nouvel atelier. pendant la période de "mise en route", la production le n-ième jour, (n, entier naturel non nul) est donnée par :
Un= 80-27e(-0.1n) unités.
a. Montrez que U(n) est strictement croissante.
b. Au bout de combien de jours la production dépassera-t-elle les 72 unités?
On pose : Vn= e(0.1.n) (, entier naturel non nul)
a. montrez que V(n) est une suite géométrique dont on donnera la raison et la limite.
b. Calculer S= V1+V2+...+V12.
c. a la suite d'une avarie, l'atelier doit être arrêté après 12 jours de fonctionnement. quelle est la production totale obtenue pendant cette période?
Donnez une valeur arrondie à l'unité.

J'essaye de commencer si quelqu'un peut m'aider SVP...??

Bonsoir,

Piste ,

Pour trouver a et b , tu résous le système :

$\left{f(0)=53\f(3)=60\right$

Ce qui fait :

80+ae(b0)=53
80+ae(b3)=60

Comme tu ne mets pas les exposants , ce que tu écris est difficile à lire...

Je suppose qu'il s'agit de :

$f(x)= 80+ ae^{(bx)}$

f(0)=53 équivaut à $80+ ae^{(b0)}=53$

Or , b0=0 et $e^0$ =1

La première équation se ramène donc à 80+a=53

Tu peux en déduire a = -27

$f (3) = 60$ équivaut à $80+ ae^{(3b)}=60$

Tu peux remplacer a par -27 et tu auras une équation d'inconnue b à résoudre.

Bonjour,

donc 80-27e(3b)=53
53+e(3b)=53
e(3b)=0

Est-ce juste...???

Non.

Tu dois trouver

$b=13ln(2027)b=\frac{1}{3}ln(\frac{20}{27})$

$\simeq -0.1$

Bon calcul.

merci, comment je fais pour trouver qu'elle est croissante....??? Est-ce que je calcule la raison ...??

Je pense que tu as remarqué que les caleurs a et b trouvées correspondent à l'expression ed Un

Un=f(n)

Tu calcules f'(n) qui tu trouveras strictement positif.

f(x) = 80-27e(-0.1x)
f(x)=e(u) or u(x)=-0.1x alors u'(x)=-0.1

Donc :
f'(x)= u'.e(u)
= -0.1e(-0.1x)
or la dérivée est positive donc f(x) est strictement croissante.

Est-ce que c'est juste ce que j'ai trouvée....???

Pour la question suivante, j'ai fait:

f(x) ≥72
80-72e(-0.1x)≥72
-72e(-0.1x)≥-8

ln 72e(-0.1x)≥ -ln 8

et après je ne réussi pas à trouver...

Pour la question 3, Vn= e(-0,1n)

Vn= Vn+1.q
donc q=(Vn+1)/Vn

mais la je ne connais pas Vn+1... comment je fais

Avant la question 3) , je te conseille de terminer la 2)

Vu qu'il s'agit de suite , Un=f(n) et utilise n au lieu de x

Pour f'(n) , fait attention à -27

$f'(n)=-27(-1)e^{-0.1n}=27e^{-0.1n}$

Pour Un ≥ 72 , il faut revoir aussi

$80−27e−0.1n≥72⟺−27e−0.1n≥72−80⟺−27e−0.1n≥−880-27e^{-0.1n} \ge72 \Longleftrightarrow -27e^{-0.1n} \ge72-80 \Longleftrightarrow -27e^{-0.1n} \ge -8$

En divisant par -27 ( négatif) , tu dois changer le sens de l'inégalité :

$e^{-0.1n} \le \frac{-8}{-27} \Longleftrightarrow \fbox{e^{-0.1n} \le \frac{8}{27}}$

Il te reste à rendre le logarithme de chaque membre et terminer le calcul

( Vu que n est naturel , tu dois trouver n ≥ 13 )

ln e(-0.1n)≤ln8/27

n.ln e(-0.1)≤ln8/27
-0.1n≤ln8/27
n≥ (ln8/27)/(-0.1)

je trouve ça mais ce n'ai pas juste, c'est pas environ 13...

c'est bon j'ai trouvé. merci
comment je fait pour la question 3...?

Pour la 3) , ton départ est bon

Pour Vn+1 , il te suffit de prendre Vn et de remplacer n par n+1 :

$V_{n+1}=e^{0,1(n+1)}$

q= [e(-0.1n+1)]/[e(-0.1n)]

Comment je fais après...??

Applique la propriété usuelle:

$eaeb=ea−b\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$

je n'arrive pas trouver q... pouvez-vous m'aider SVP...???

$q=e0.1(n+1)e0.1n=e0.1(n+1)−0.1n=e0.1n+0.1−0.1nq=\frac{e^{0.1(n+1)}}{e^{0.1n}}=e^{0.1(n+1)-0.1n=e^{0.1n+0.1-0.1n}}$

Tu simplifies.

q= e(0.1)

3.b. V0+11= V0x e(-0.1)

V0= 1
donc
V12= 1x e(-0.1)
V12=e(-0.1)
Est-ce juste...??

Le premier terme n'est pas V0 c'est V1

Regarde avec soin la formule de ton cours et applique la.

Pouvez-vous m'aider SVP..??

V12= V1 x q exposant12
=0.9048x (e0.1)exposant 12
= 0.9048 x (e0.1x12)
= 0.9048x e(0.2)
= 3 environ

Est-ce juste SVP, si vous pouvez m'aider plus c'est urgent merci.... :frowning2:

Pouvez-vous m'aider pour la dernière question...??

voila ce que j'ai fait pour la dernière question,

U12= 71,86
donc production de 71 unités après 12 jours. Est-ce juste....???

Pour V12 , il y a une erreur ( vu que le premier terme est V1 , l'exposant en 11) mais ce n'est pas ce qu'il faut chercher.

Pour la somme $V_1$ +.. $V_{12}$ tu dois utiliser la formule de la somme

$V1+...+V12=V1×1−q121−qV1+...+V_{12}=V_1\times \frac{1-q^{12}}{1-q}$