Prolongement par continuité

[anne-so']

Bonjour,

Soit la fonction f définie de R* -> R tel que $f(x)=x^{2}e(\frac{1}{x})$
Je ne sais pas comment prouver que f admet un prolongement par continuité en 0.

Merci.

[mtschoon]

Bonjour,

Piste,

f est définie sur R-{0}

Tu dois trouver la limite de f lorsque x tend vers 0

Pour cela , tu peux procéder par encadrement

Pour tout réel X , X-1 < E(X) ≤ X

Tu poses X=1/x

Pour x ≠ 0 , tu peux encadrer E(1/x) puis x²E(1/x)

Par encadrement ( théorème des deux gendarmes ) , tu trouveras que la limite cherchée est 0

Ainsi , la fonction g définie par g(x)=f(x) pour tout x différent de 0 et g(0)=0 est le prolongement par continuité cherché.

[anne-so']

mtschoon
Bonjour,

Piste,

f est définie sur R-{0}

Tu dois trouver la limite de f lorsque x tend vers 0

Pour cela , tu peux procéder par encadrement

Pour tout réel X , X-1 < E(X) ≤ X

Tu poses X=1/x

Pour x ≠ 0 , tu peux encadrer E(1/x) puis x²E(1/x)

Par encadrement ( théorème des deux gendarmes ) , tu trouveras que la limite cherchée est 0

Ainsi , la fonction g définie par g(x)=f(x) pour tout x différent de 0 et g(0)=0 est le prolongement par continuité cherché.

J'ai fait les encadrements et j'ai conclu que la limite recherchée était 0.
Je dois également préciser ce prolongement f(avec une vague), ça signifie quoi ?

[Ostap_Bender]

Bonjour Anne-So.
La fonction f n'est pas définie en zéro. La fonction $\tilde{f}$ est définie en zéro. On ne peut pas dire que c'est la même fonction et on préfère leur donner des noms différents.
Donc que vaut $\tilde{f}(0)$ et que vaut $\tilde{f}(x)$ pour $x\ne 0$ ?

[anne-so']

Ostap_Bender
Bonjour Anne-So.
La fonction f n'est pas définie en zéro. La fonction $\tilde{f}$ est définie en zéro. On ne peut pas dire que c'est la même fonction et on préfère leur donner des noms différents.
Donc que vaut $\tilde{f}(0)$ et que vaut $\tilde{f}(x)$ pour $x\ne 0$ ?

$\tilde{f}(0)=0$ ?

[mtschoon]

"f(avec une vague)" : c'est ce que j'ai appelé "g" dans ma réponse , car je n'avait pas écrit en Latex.

( La "vague" c'est la "tilde" en espagnol )

Après ta démonstration , tu peux conclure que :

Soit $\tilde{f}$ la fonction appelée "prolongement par continuité de f , en 0"

$\tilde{f}$ est définie de la façon suivante :

$\left {\forall x \ne 0 \ \tilde{f}(x)=x^2e(\frac{1}{x})\\tilde{f}(0)=0$

[mtschoon]

Bonjour Ostap_Bender !

*Encore un doublon...désolée...

Tu es arrivé sur forum sans que je te vois...*

Bonne journée !

[anne-so']

De manière générale, à quoi sert de savoir qu'une fonction admet un prolongement par continuité ?

[mtschoon]

Que dire...

Si l'on parle de prolongement par continuité en $x_0$ :

ça permet de pouvoir travailler sur une fonction$\tilde{f}$ continue en $x_0$ alors que le fonction f ne l'est pas.

La représentation graphique de f a un "trou" en $x_0$ , alors que la fonction $\tilde{f}$ n'en a pas .

[Ostap_Bender]

anne-so'
De manière générale, à quoi sert de savoir qu'une fonction admet un prolongement par continuité ?
Tu as de nombreux théorèmes qui commencent par :
Soit $f$ une fonction continue sur un segment [a,b]...
L'idée principale est de pouvoir utiliser ces théorèmes pour des fonctions qui ne sont pas continues au départ, comme $\frac{\sin x}{x}$ mais que l'on peut prolonger par continuité.

[anne-so']

Ah d'accord, merci beaucoup de votre aide!
Bonne journée.