espace vectorielle de dimension finie.....

[alexesilv]

Bonjour a tout ceux qui lirons ce message,

je galère sur ce chapitre et il y a 3 exos qui me pose problème......

Exercice 1.
Dans le R-espace vectoriel E = R^3, on pose E1 = {(0; y; z); (y; z) appartient a R^2} et E2 = V ect(epsilon1; epsilon2; epsilon3) lorsque epsilon1 = (1; 1; 1); epsilon2 = (1; 2; 3); epsilon3 = (1; 3; 5).

1. Montrer que E1 est un sous-espace vectoriel de E, en donner une base et la dimension.
2. Donner une base et la dimension de E2; E1 inter E2 et E1 + E2.
3. Determiner un sous-espace vectoriel F de E tel que F plus entouré (E1 inter E2) =E.

Merci bien de me répondre le plus précisément possible car je ne comprend presque rien.....

*** Un seul exercice par post***

[Ostap_Bender]

Bonjour.

1. Peux-tu me rappeler quelles sont les vérifications à effectuer pour pouvoir dire que $e_1$ est un sous-espace vectoriel de E ?

[alexesilv]

E1 n'est pas vide . Il faut ensuite montrer qu'il est stable par combinaison linéaire.

[Ostap_Bender]

OK. Comment peux-tu écrire une combinaison linéaire de deux vecteurs de $e_1$ ?

[alexesilv]

NN en fait c bon j'ai trouver

maintenant c celui la qui me pose problème...........

Exercice 2.
On note B = (e1; e2; e3) la base canonique du R-espace vectoriel R^3.
Soit F = V ect((1; 1; 0);(2; 0; 1)) et G = V ect((1; 1; 0);(1; 0; 2)):

1. Donner une equation cartesienne de F (resp. G) relativement a la base B.
2. Justi er en utilisant la formule de Grassman que F inter G différent de {0E}.
3. Determiner F inter G par ses equations.
4. Trouver un supplementaire F' de F inter G dans F, c'est a dire F = F' plus entouré (F inter G).
5. Trouver un supplementaire G' de F inter G dans G.

[Ostap_Bender]

Pour une équation de F. On cherche à quelle condition un vecteur $\begin{pmatrix} x\y\z\end{pmatrix}$ peut s'écrire $u\begin{pmatrix} 1\1\0\end{pmatrix} + v\begin{pmatrix}2\0\1\end{pmatrix}$. Cela s'écrit sous la forme d'un système que l'on résout (par la méthode de Gauss). Les inconnues sont $u$ et $v$.
$\left\lbrace \begin{array}{rcrcl} \ u &+&2v &=& x \u && &=& y \ &&v &=& z \ \end{array} \ \right.$
Les deux dernières équations donnent la valeur pour $u$ et $v$. La première équation donne la condition pour laquelle il y a une solution en remplaçant $u$ et $v$ :
$y+2z=x$. C'est une équation de $f$.

Ici, en dimension 3 il y a des méthodes alternatives.