petit problémé de sommation en 1éré année de licence



  • Bonjour je suis bloquée sur cette question.Quelqu'un peut il m'aider?
    "+inf/ som(k=1 kxk1kx^{k-1} =1/((1-x)^2 ) "et" +inf/ som(k=2 k(k1)xk2k(k-1)x^{k-2} = 2/((1-x)^3 ).Il faut démontrer ces formules.
    Merci d'avance pour l'aide.Si c'est possible pouvez vous me donner les explications afin que je comprenne.
    s'il vous plait aidez moi c'est urgent



  • salut

    pour la première somme

    je pose S=som(x^k) pour k compris entre 1 et n

    je multiplie les 2 mbrs de cette équation par x soit:

    x.S=som(x^(k+1))

    je soustrais ces deux équations

    soit: S(1-x)=som(x^k)-som(x^(k+1))

    j'effectue le chgt de variable pour la 2 ieme somme en posant k+1=j

    som(x^(k+1)) devient som(x^j) pour j compris entre 2 et n+1

    je pose aussi k=j dans la 1 iere somme ;

    som(x^k) devient som(x^j) pour j compris entre 1 et n .

    je me retrouve donc avec

    S(1-x)=som(x^j)- pour 1<=j<=n - som(x^j) pour 2<=j<=n+1

    il reste S(1-x)=x-x^(n+1) et S=(x-x^(n+1))/(1-x)=som(x^k) pour k compris entre 1 et n.

    d'apres l'enoncé , on vois bien que c'est la derivé de som(x^k) qui est donné , il suffit donc de deriver S(x) pour l'obtenir puis calculer la limite de s'(x) quand n tand vers l'infini


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