Déterminer si une fonction est un endomorphisme / polynôme et déterminer son noyau



  • Salut,
    Pourriez vous m'aider SVP,
    Soit f:K(X) à K(X)/
    f(P(X))=P(X+1)-P(X)
    1)Montrer que f est un endomorphisme.Déterminez son noyau.
    2)Montrer que pour tout n,p appartenant à N on a:
    f^n(X^p)=0 si p<n et f^n(X^p)=n! si p=n.
    Pour la première question je l'ai faite lhamdolillah,mais pour la 2ème je suis vraiment bloquée.
    Et merci d'avance. 🙂



  • Bonjour hibatoullah.

    Pour le 2), comme te l'a signalé Seirios, c'est une histoire de degré. En général, deg(f(p))=degp1deg(f(p)) = deg p - 1.

    Que signifie lhamdolillah ?

    amicalement,



  • resalut,
    Ostap_Bender,lhamdolillah signifie Dieu merci! 🙂
    et puis SVP toujours dans le même exercice on nous demande de considérer f=T-id,avec T(P)=P(X+1),montrer que:
    sigma(k=0 à n)(-1)^k (n C k )(X-k)^p=0 si p<n
    et sigma(k=0 à n)(-1)^k*(n C k )(X-k)^p=n! si p=n
    J'ai appliqué la formule de binôme de Newton a f^n(X^p) et je trouve:
    f^n(X^p)=(-1)^n
    ( sigma(k=0 à n)(-1)^k (n C k )(X-k)^p)
    donc la première égalité c'est bon!
    Mais pour la 2ème je trouve comme résultat n!/(-1)^n et non pas n!.
    Et merci d'avance! 😄



  • Attention, tu as (merci Newton, chacun ses références...)
    fn=k=0n(nk)tk(1)nkidf^n = \sum{k=0}^n \binom nk t^k (-1)^{n-k}id
    et c'est ce (1)n(-1)^n qui va faire la différence.


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