Déterminer si une fonction est un endomorphisme / polynôme et déterminer son noyau

Salut,
Pourriez vous m'aider SVP,
Soit f:K(X) à K(X)/
f(P(X))=P(X+1)-P(X)
1)Montrer que f est un endomorphisme.Déterminez son noyau.
2)Montrer que pour tout n,p appartenant à N on a:
f^n(X^p)=0 si p<n et f^n(X^p)=n! si p=n.
Pour la première question je l'ai faite lhamdolillah,mais pour la 2ème je suis vraiment bloquée.
Et merci d'avance.

Bonjour hibatoullah.

Pour le 2), comme te l'a signalé Seirios, c'est une histoire de degré. En général, $d e g (f (p)) = d e g p - 1$ .

Que signifie lhamdolillah ?

amicalement,

resalut,
Ostap_Bender,lhamdolillah signifie Dieu merci!
et puis SVP toujours dans le même exercice on nous demande de considérer f=T-id,avec T(P)=P(X+1),montrer que:
sigma(k=0 à n)(-1)^k (n C k )(X-k)^p=0 si p<n
et sigma(k=0 à n)(-1)^k*(n C k )(X-k)^p=n! si p=n
J'ai appliqué la formule de binôme de Newton a f^n(X^p) et je trouve:
f^n(X^p)=(-1)^n( sigma(k=0 à n)(-1)^k (n C k )(X-k)^p)
donc la première égalité c'est bon!
Mais pour la 2ème je trouve comme résultat n!/(-1)^n et non pas n!.
Et merci d'avance!

Attention, tu as (merci Newton, chacun ses références...)
$fn=∑k=0n(nk)tk(−1)n−kidf^n = \sum{k=0}^n \binom nk t^k (-1)^{n-k}id$
et c'est ce $1)^n$ qui va faire la différence.