Représenter graphiquement les termes d'une suite numérique et étudier ses variations



  • Bonjour, j'ai un DM à rendre pour la rentrée,et j'aimerai que l'on m'aide un peu.
    Tout d'abord, voilà l'énoncé:

    f est la fonction définie sur R+ par f(x)=(1/2)x² + 1 et (Un) la suite définie pour tout naturel n par Un=f(n).

    1)a) Calculez U0,U1,U2
    Donc la, je suppose que je doit remplacer les termes de f(x) par 0 puis par 1 puis par 2 ?
    b)Représentez graphiquement dans un repère les trois premiers termes de la suite (Un),c'està-dire
    placez les points M0(0;u0) ; M1(1,u1) ; M2(2;u2)

    2)a)Etudiez le sens de variation de la fonction f sur R+.
    b)Tracez dans le repère précédent la courbe représentative de la fonction f
    pour x[0;6].
    c)Expliquez comment on peut utiliser cette courbe pour représenter graphiquement les termes de la
    suite (Un).Placez les points de coordonnées(3;U3) et (4;U4).

    3)a)En utilisant la question 2)a), expliquez pourquoi, quel que soit l'entier naturel n, on a Un+1>Un
    Quelle est le sens de variation de (Un) ?

    4)a)Calculez U10, U100, U1000.
    b)trouvez deux naturels n tels que: Un>10 exposant 6
    c)Y'a t-il beaucoup de naturels n tels que: Un>10 exposant 6
    d)A est une réel strictement positif fixé(A pouvant être très grand). En utilisant la représentation
    graphique de f, expliquez pourquoi les Un finissent par dépasser A.

    Voilà,ce serait sympa si vous pouviez m'aider, car j'ai un peu de mal avec les suites ...



  • Bonjour,
    C'est f(x) = 1/(2x²+1), pas (1/2x²) + 1 ?
    Que signifient les "prime" : U0', U1', ...?
    Donne tes réponses pour U0,U1,U2.



  • c'est f(x)= (1/2)x² +1.
    Et justement les ' je comprends pas très bien, je pene que c'est genre quand il y a U0' on fait avec f'(x) et quand c'est U2 on fait avec f(x) mais je suis pas sur, tu peux confirmer ça ?



  • Citation
    c'est f(x)= (1/2)x² +1.Ah bon : ça change tout.
    Pour les primes, je ne peux rien confirmer ni infirmer : on utilise traditionnellement "prime" pour la dérivée d'une fonction, mais les Ui ne sont pas des fonctions : ce sont des nombres. Vérifie ton énoncé.
    Tu peux calculer ui = f(i), tu peux calculer f'(x), tu peux calculer f'(i).
    Mais l'écriture Ui' n'a aucun sens.
    Donne tes réponses : U0, U1, U2.
    Donne ta réponse pour les variations de f.



  • Ahhhh je sais 😛 , j'ai trouvé c'est quoi cette histoire de ' , en faite ce sont les virgule qu'il y a dans le texte que j'ai pris pour des ' ... Ok Ok , alors du coup, je dois faire :

    f(0)=(1/2)(0)² + 1= 1
    f(1)=(1/2)(1)² + 1 = 1.5
    f(2)=(1/2)(2)² + 1 = 3

    Pour les variations de f, voilà comment j'ai fait, j'ai prix la dérivé de f(x) qui est f'(x)=x.
    Donc j'ai fait un tableau de variation : et j'ai trouver pour les variation de f :
    croissante sur ]-INFINI;0]U[0:+INFINI[ .

    Est-ce ça ?



  • Citation
    croissante sur ]-INFINI;0]U[0:+INFINI[ .Non:

    1. la réunion des deux intervalles n'en fait qu'un : ]+∞ ; +∞[
    2. la fonction est décroissante sur ]-∞ ; 0] (dérivée négative). Elle est donc seulement croissante sur [0 ; +∞[
    3. De toute façon, on te demande justement uniquement les variations sur R+, c'est-à-dire sur [0 ; +∞[.

    Qu'est-ce ensuite qui te pose problème ?



  • Salut,

    La variation de f dépend du signe de f'.
    Si f'(x)=x quel est son tableau de signe entre 0 et +∞ ? Du coup comment varie f dans cet intervalle ?

    EDIT: oups, trop lent 🙂



  • Ah oui, exact, merci.
    La 2)c), la deuxième partie de la question, j'ai compris, c'est la première partie qui me pose problème soit :
    Expliquez comment on peut utiliser cette courbe pour représenter graphiquement les termes de la suite (Un).

    EDIT: euh du coup, c'est quoi la dérivée de f(x), c'est bien X non ?



  • Ah ouai, c'est bon, j'ai compris, donc pour résumer, f est croissante sur R+, et pour la 2)c) la réponse c'est , comme Un=f(x), on utilise les points de la courbe d'abscisse entière (0 ; 1 ; 2 ; 3 ...).

    Maintenant la 3)a), ça se complique ...



  • Citation
    )Expliquez comment on peut utiliser cette courbe pour représenter graphiquement les termes de la
    suite (Un).Cela ?
    Un = f(n), mais n est entier (ici positif). Il suffit donc de choisir les images de nombres entiers.
    Plus précisément, la représentation graphique de f est une "ligne continue", alors que les termes de la suite sont représentés par des points "isolés" situés sur cette ligne : les points dont les abscisses sont entières.

    fichier math
    La représentation de f est la ligne rouge.
    La représentation de la suite est constituée seulement des points bleus.



  • Ok, merci pour tes précisions.
    La 3)a) maintenant; j'ai mis ça :

    f est croissante sur R+
    C'est à dire que, pour tous nombres a et b positifs, si a < b alors f(a) < f(b)
    Comme n < n+1 alors f(n) < f(n+1) donc Un < Un+1
    Donc la suite (Un) est croissante.



  • Évite de "croiser" les messages : je n'avais pas vu les rajouts précédents.
    Pour la 3)a) : quelle est la définition d'une application croissante sur [0;+∞[ ?



  • La définition d'une application croissante sur [0;+∞[ ???
    Je comprends pas là.



  • Citation
    si a < b alors f(a) < f(b)Pas très rigoureux :
    si a < b , alors f(a) ≤ f(b).
    Il suffit de préciser ici que la fonction est strictement croissante sur R+.
    Comment ?
    a) soit tu considères que c'est un résultat du cours, la dérivée de f étant strictement positive sur R+ (sauf pour x=0)
    b) soit tu démontres directement que f(n+1) ≠ f(n)



  • matheux56
    La définition d'une application croissante sur [0;+∞[ ???
    Je comprends pas là.Laisse-moi le temps de répondre !
    Tu mélanges les messages.
    J'ai apporté des précisions ci-dessus.



  • Je vais considéré ça comme un résultat de cours je pense.
    Donc je mets :

    f est croissante sur R+
    C'est à dire que, pour tous nombres a et b positifs, si a < b alors f(a) < f(b) car la dérivée de f est strictement positive sur R+(sauf pour X=0)
    Comme n < n+1 alors f(n) < f(n+1) donc Un < Un+1
    Donc la suite (Un) est croissante.

    C'est bien comme ça ?



  • OK.
    Tu sais faire la suite ?



  • Je me rends compte que j'ai oublier de mentionner la question 3)b) dans mon énoncé :
    Retrouvez le résultat précédent en calculant Un+1 - Un.

    Un=f(n)= (1/2)x² + 1
    Mais pour Un+1, je remplace n par n'importe quelle chiffre ?



  • Citation
    U_n$=f(n)= (1/2)x² + 1Attention : f(n) = (1/2)n² + 1 : il n'y a plus la lettre x.
    Donc pareil pour n+1 : Un+1U_{n+1} = f(n+1) = (1/2)(n+1)² + 1
    Tu peux alors calculer Un+1U_{n+1} - UnU_n en gardant la lettre n.



  • Ah d'accord, je vois, je vais regarder ça.Merci



  • Voilà ce que j'ai trouvé :

    n+1:U
    n+1=f(n+1)=1/2(n+1)² + 1
    n:Un=f(n)=1/2(n)² + 1

    U
    n+1- Un = (1/2(n+1)² + 1) - ( 1/2(n)² + 1)
    = (1/2(n² + 2n + 1) +1 ) - ( 1/2 (n)² +1 )
    = 1/2n² + n + 1/2 + 1 - 1/2(n)² - 1
    = 1/2n² - 1/2n² +n + 0.5
    = n + 0.5

    C'est ça ?



  • C'est juste.
    Et puisque n ≥ 0, n+0.5 > 0 donc Un+1 > Un



  • Oui, j'ai oublier de le mentionner.
    Je fais la 4)a) maintenant.

    4)a)Calculez U10, U100, U1000.

    Etant donné que la suite est défini explicitement je remplace juste f(n) par 10 puis 100 puis 1000 ?



  • Bien sûr, tu remplaces n par 10, ... et tu calcules f(n).



  • Ok,
    f(10)=51
    f(100)=5001
    f(1000)=500001

    Pour la 4)b), c'est simple, U100 000 et U10 000 > 10 exposant 6.
    et la 4)c); je mets; Oui il en existe une infinité, car la suite est infiniment positive.

    C'est bien comme ça ?



  • Citation
    car la suite est infiniment positive.Ça ne veut pas dire grand chose.
    Il suffit de dire, qu'ayant trouvé deux solutions (avec deux valeurs de n), il suffit de prendre n supérieur à ces valeurs choisies : il y a une infinité de valeurs pour n.



  • Ah ok ^^, la dernière question maintenant,
    A est une réel strictement positif fixé(A pouvant être très grand). En utilisant la représentation graphique de f, expliquez pourquoi les Un finissent par dépasser A.

    Ma réponse : les Un finissent par dépasser A car A est un point fixé et que même si il est très grand, il y a une infinité de valeurs pour n, donc forcément à un moment la suite Un dépassera ce point.



  • Ce raisonnement est faux.
    Pour commencer, A est un nombre, pas un point.
    Ensuite, ce n'est pas parce qu'il y a une infinité de Un dépassant 10610^6 qu'il y en a forcément qui puissent dépasser A.
    Par exemple, si A = 10102410^{1024}, il se pourrait qu'il y ait une infinité de Un entre 10610^6 et A.
    Pense à la courbe : quelle est sa nature ?
    Mais tu peux aussi raisonner un peu différemment : quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?



  • Mais si c'est infini, c'est que ça va infiniment, étant donné que A est un nombre fixe, et que l'infini > à ce nombre fixé, automatiquement la suite Un dépassera ce nombre non ?
    La courbe, c'est une parabole positive : ( )
    ( )
    ( )
    (_)
    Comme ça à peu près ( très schématique ^^ ).
    Euh la limite ? J'ai pas encore vu ce que c'était et je vois pas ce que c'est ici.



  • ah là ça ressemble à rien en gros, elle est en forme de / au-dessus de 0 ^^


 

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