Représenter graphiquement les termes d'une suite numérique et étudier ses variations



  • Bonjour, j'ai un DM à rendre pour la rentrée,et j'aimerai que l'on m'aide un peu.
    Tout d'abord, voilà l'énoncé:

    f est la fonction définie sur R+ par f(x)=(1/2)x² + 1 et (Un) la suite définie pour tout naturel n par Un=f(n).

    1)a) Calculez U0,U1,U2
    Donc la, je suppose que je doit remplacer les termes de f(x) par 0 puis par 1 puis par 2 ?
    b)Représentez graphiquement dans un repère les trois premiers termes de la suite (Un),c'està-dire
    placez les points M0(0;u0) ; M1(1,u1) ; M2(2;u2)

    2)a)Etudiez le sens de variation de la fonction f sur R+.
    b)Tracez dans le repère précédent la courbe représentative de la fonction f
    pour x[0;6].
    c)Expliquez comment on peut utiliser cette courbe pour représenter graphiquement les termes de la
    suite (Un).Placez les points de coordonnées(3;U3) et (4;U4).

    3)a)En utilisant la question 2)a), expliquez pourquoi, quel que soit l'entier naturel n, on a Un+1>Un
    Quelle est le sens de variation de (Un) ?

    4)a)Calculez U10, U100, U1000.
    b)trouvez deux naturels n tels que: Un>10 exposant 6
    c)Y'a t-il beaucoup de naturels n tels que: Un>10 exposant 6
    d)A est une réel strictement positif fixé(A pouvant être très grand). En utilisant la représentation
    graphique de f, expliquez pourquoi les Un finissent par dépasser A.

    Voilà,ce serait sympa si vous pouviez m'aider, car j'ai un peu de mal avec les suites ...



  • Bonjour,
    C'est f(x) = 1/(2x²+1), pas (1/2x²) + 1 ?
    Que signifient les "prime" : U0', U1', ...?
    Donne tes réponses pour U0,U1,U2.



  • c'est f(x)= (1/2)x² +1.
    Et justement les ' je comprends pas très bien, je pene que c'est genre quand il y a U0' on fait avec f'(x) et quand c'est U2 on fait avec f(x) mais je suis pas sur, tu peux confirmer ça ?



  • Citation
    c'est f(x)= (1/2)x² +1.Ah bon : ça change tout.
    Pour les primes, je ne peux rien confirmer ni infirmer : on utilise traditionnellement "prime" pour la dérivée d'une fonction, mais les Ui ne sont pas des fonctions : ce sont des nombres. Vérifie ton énoncé.
    Tu peux calculer ui = f(i), tu peux calculer f'(x), tu peux calculer f'(i).
    Mais l'écriture Ui' n'a aucun sens.
    Donne tes réponses : U0, U1, U2.
    Donne ta réponse pour les variations de f.



  • Ahhhh je sais 😛 , j'ai trouvé c'est quoi cette histoire de ' , en faite ce sont les virgule qu'il y a dans le texte que j'ai pris pour des ' ... Ok Ok , alors du coup, je dois faire :

    f(0)=(1/2)(0)² + 1= 1
    f(1)=(1/2)(1)² + 1 = 1.5
    f(2)=(1/2)(2)² + 1 = 3

    Pour les variations de f, voilà comment j'ai fait, j'ai prix la dérivé de f(x) qui est f'(x)=x.
    Donc j'ai fait un tableau de variation : et j'ai trouver pour les variation de f :
    croissante sur ]-INFINI;0]U[0:+INFINI[ .

    Est-ce ça ?



  • Citation
    croissante sur ]-INFINI;0]U[0:+INFINI[ .Non:

    1. la réunion des deux intervalles n'en fait qu'un : ]+∞ ; +∞[
    2. la fonction est décroissante sur ]-∞ ; 0] (dérivée négative). Elle est donc seulement croissante sur [0 ; +∞[
    3. De toute façon, on te demande justement uniquement les variations sur R+, c'est-à-dire sur [0 ; +∞[.

    Qu'est-ce ensuite qui te pose problème ?



  • Salut,

    La variation de f dépend du signe de f'.
    Si f'(x)=x quel est son tableau de signe entre 0 et +∞ ? Du coup comment varie f dans cet intervalle ?

    EDIT: oups, trop lent 🙂



  • Ah oui, exact, merci.
    La 2)c), la deuxième partie de la question, j'ai compris, c'est la première partie qui me pose problème soit :
    Expliquez comment on peut utiliser cette courbe pour représenter graphiquement les termes de la suite (Un).

    EDIT: euh du coup, c'est quoi la dérivée de f(x), c'est bien X non ?



  • Ah ouai, c'est bon, j'ai compris, donc pour résumer, f est croissante sur R+, et pour la 2)c) la réponse c'est , comme Un=f(x), on utilise les points de la courbe d'abscisse entière (0 ; 1 ; 2 ; 3 ...).

    Maintenant la 3)a), ça se complique ...



  • Citation
    )Expliquez comment on peut utiliser cette courbe pour représenter graphiquement les termes de la
    suite (Un).Cela ?
    Un = f(n), mais n est entier (ici positif). Il suffit donc de choisir les images de nombres entiers.
    Plus précisément, la représentation graphique de f est une "ligne continue", alors que les termes de la suite sont représentés par des points "isolés" situés sur cette ligne : les points dont les abscisses sont entières.

    fichier math
    La représentation de f est la ligne rouge.
    La représentation de la suite est constituée seulement des points bleus.



  • Ok, merci pour tes précisions.
    La 3)a) maintenant; j'ai mis ça :

    f est croissante sur R+
    C'est à dire que, pour tous nombres a et b positifs, si a < b alors f(a) < f(b)
    Comme n < n+1 alors f(n) < f(n+1) donc Un < Un+1
    Donc la suite (Un) est croissante.



  • Évite de "croiser" les messages : je n'avais pas vu les rajouts précédents.
    Pour la 3)a) : quelle est la définition d'une application croissante sur [0;+∞[ ?



  • La définition d'une application croissante sur [0;+∞[ ???
    Je comprends pas là.



  • Citation
    si a < b alors f(a) < f(b)Pas très rigoureux :
    si a < b , alors f(a) ≤ f(b).
    Il suffit de préciser ici que la fonction est strictement croissante sur R+.
    Comment ?
    a) soit tu considères que c'est un résultat du cours, la dérivée de f étant strictement positive sur R+ (sauf pour x=0)
    b) soit tu démontres directement que f(n+1) ≠ f(n)



  • matheux56
    La définition d'une application croissante sur [0;+∞[ ???
    Je comprends pas là.Laisse-moi le temps de répondre !
    Tu mélanges les messages.
    J'ai apporté des précisions ci-dessus.



  • Je vais considéré ça comme un résultat de cours je pense.
    Donc je mets :

    f est croissante sur R+
    C'est à dire que, pour tous nombres a et b positifs, si a < b alors f(a) < f(b) car la dérivée de f est strictement positive sur R+(sauf pour X=0)
    Comme n < n+1 alors f(n) < f(n+1) donc Un < Un+1
    Donc la suite (Un) est croissante.

    C'est bien comme ça ?



  • OK.
    Tu sais faire la suite ?



  • Je me rends compte que j'ai oublier de mentionner la question 3)b) dans mon énoncé :
    Retrouvez le résultat précédent en calculant Un+1 - Un.

    Un=f(n)= (1/2)x² + 1
    Mais pour Un+1, je remplace n par n'importe quelle chiffre ?



  • Citation
    U_n$=f(n)= (1/2)x² + 1Attention : f(n) = (1/2)n² + 1 : il n'y a plus la lettre x.
    Donc pareil pour n+1 : Un+1U_{n+1}Un+1 = f(n+1) = (1/2)(n+1)² + 1
    Tu peux alors calculer Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn en gardant la lettre n.



  • Ah d'accord, je vois, je vais regarder ça.Merci



  • Voilà ce que j'ai trouvé :

    n+1:U
    n+1=f(n+1)=1/2(n+1)² + 1
    n:Un=f(n)=1/2(n)² + 1

    U
    n+1- Un = (1/2(n+1)² + 1) - ( 1/2(n)² + 1)
    = (1/2(n² + 2n + 1) +1 ) - ( 1/2 (n)² +1 )
    = 1/2n² + n + 1/2 + 1 - 1/2(n)² - 1
    = 1/2n² - 1/2n² +n + 0.5
    = n + 0.5

    C'est ça ?



  • C'est juste.
    Et puisque n ≥ 0, n+0.5 > 0 donc Un+1 > Un



  • Oui, j'ai oublier de le mentionner.
    Je fais la 4)a) maintenant.

    4)a)Calculez U10, U100, U1000.

    Etant donné que la suite est défini explicitement je remplace juste f(n) par 10 puis 100 puis 1000 ?



  • Bien sûr, tu remplaces n par 10, ... et tu calcules f(n).



  • Ok,
    f(10)=51
    f(100)=5001
    f(1000)=500001

    Pour la 4)b), c'est simple, U100 000 et U10 000 > 10 exposant 6.
    et la 4)c); je mets; Oui il en existe une infinité, car la suite est infiniment positive.

    C'est bien comme ça ?



  • Citation
    car la suite est infiniment positive.Ça ne veut pas dire grand chose.
    Il suffit de dire, qu'ayant trouvé deux solutions (avec deux valeurs de n), il suffit de prendre n supérieur à ces valeurs choisies : il y a une infinité de valeurs pour n.



  • Ah ok ^^, la dernière question maintenant,
    A est une réel strictement positif fixé(A pouvant être très grand). En utilisant la représentation graphique de f, expliquez pourquoi les Un finissent par dépasser A.

    Ma réponse : les Un finissent par dépasser A car A est un point fixé et que même si il est très grand, il y a une infinité de valeurs pour n, donc forcément à un moment la suite Un dépassera ce point.



  • Ce raisonnement est faux.
    Pour commencer, A est un nombre, pas un point.
    Ensuite, ce n'est pas parce qu'il y a une infinité de Un dépassant 10610^6106 qu'il y en a forcément qui puissent dépasser A.
    Par exemple, si A = 10102410^{1024}101024, il se pourrait qu'il y ait une infinité de Un entre 10610^6106 et A.
    Pense à la courbe : quelle est sa nature ?
    Mais tu peux aussi raisonner un peu différemment : quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?



  • Mais si c'est infini, c'est que ça va infiniment, étant donné que A est un nombre fixe, et que l'infini > à ce nombre fixé, automatiquement la suite Un dépassera ce nombre non ?
    La courbe, c'est une parabole positive : ( )
    ( )
    ( )
    (_)
    Comme ça à peu près ( très schématique ^^ ).
    Euh la limite ? J'ai pas encore vu ce que c'était et je vois pas ce que c'est ici.



  • ah là ça ressemble à rien en gros, elle est en forme de / au-dessus de 0 ^^



  • Citation
    Mais si c'est infini, c'est que ça va infiniment, étant donné que A est un nombre fixe, et que l'infini > à ce nombre fixé, automatiquement la suite Un dépassera ce nombreCette phrase est bien confuse.
    Tu n'as pas compris ton erreur de raisonnement : une infinité de termes ne signifie pas qu'ils peuvent être aussi grands qu'on veut.
    Par exemple, suppose que tous les termes d'une autre suite infinie soient tous compris entre 0 et 1 : c'est tout-à-fait possible, et il y a une infinité de nombres entre 0 et 1.
    Il se peut qu'il y ait une infinité de termes de cette suite supérieurs par exemple à 1/2, mais si tu choisis A = 2, il n'y en aura aucun supérieur à 2.
    As-tu compris ce raisonnement et ton erreur ?



  • Oui je crois, en fait c'est possible d'avoir une infinité entre 5 et 10 mais au-dessus c'est plus possible.
    Mais je vois toujours pas comment répondre à ma question :S



  • Citation
    Oui je crois, en fait c'est possible d'avoir une infinité entre 5 et 10 mais au-dessus c'est plus possible.Ça dépend bien sûr de l'exemple choisi.

    Pour ton exercice, il faut démontrer qu'il y a toujours des Un supérieurs à A, quel que soit A.
    Tu as dit que la courbe était une parabole (en fait une demi-parabole).
    Alors, la branche de cette parabole monte aussi haut qu'on veut (dessin donné auparavant).
    Comme on te demande seulement une explication graphique, tu peux utiliser cette parabole.
    A étant donné, trace la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point (0;A) : y-a-t-il des points de la courbe au-dessus de cette droite ?



  • D'accord, mais le problème c'est que A n'est pas donné :S.

    Cf consigne : A est une réel strictement positif fixé(A pouvant être très grand). En utilisant la représentation graphique de f, expliquez pourquoi les Un finissent par dépasser A.



  • Citation
    A est une réel strictement positif fixéA est donc "donné". Tu veux dire qu'on ne connait pas sa valeur, mais peu importe : tu es bien obligé d'en choisir une pour faire le dessin.



  • Donc je choisit une valeur de A, et je dis que étant donner que la parabole ne s'arrête pas alors elle dépassera forcément ce point ?



  • Oui, à peu près cela.

    fichier math
    Il y aura toujours des points de la parabole rouge situés au-dessus de la droite bleue. Et parmi ces points, il y en aura forcément dont l'abscisse est entière (points bleus) car la parabole s'éloigne indéfiniment vers le haut mais aussi vers la droite (le côté droit du dessin ; mon dessin est mal fait : c'est juste pour comprendre ce qui se passe).

    Mais si tu veux, on peut aussi le justifier par le calcul.



  • Oui, je voudrais bien voir ça par calcul stp.



  • Soit A un nombre positif fixé (donné).
    On cherche si on peut trouver des Un tels que Un > A.
    Un = f(n) = (1/2)n² +1
    On cherche donc n tel que (1/2)n² + 1 > A
    Donc (1/2)n² > A-1
    A pouvant être aussi grand qu'on veut, on peut supposer A -1 positif.
    On cherche donc n tel que n² > 2(A-1)
    n et A-1 étant positifs, l'inégalité n² > 2(A-1) équivaut à n > √(2(A-1))

    Il suffit donc de choisir n vérifiant cette inégalité pour que Un dépasse A.
    C'est toujours possible car il existe des entiers aussi grands qu'on veut.

    En résumé, l'inéquation Un > A revient à l'inéquation n > B où ici B = √(2(A-1))



  • Je vois à peu près, compliqué comme question ^^.
    Merci en tout cas, grâce à toi, j'ai finis mon DM 😄


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