Théorème de Cantor Bernstein

Bonjour à tous,
Depuis un certain temps, une question me taraude, à laquelle je n’ai pas obtenu à ce jour de réponse.
Dans l'ouvrage d'Arnaudiès et Fraysse, Cours de Mathématiques-1, Algèbre, page 59, édition de 1990, je trouve ceci :
Je cite :
Citation

Théorème II.3.10 (Bernstein (1), 1897)
Soit A et B deux ensembles. S’il existe une injection f : A → B et une
injection g : B → A, alors A et B sont équipotents.

Démonstration :
Soit B’ = f(A) et A’ = g(B). On pose (en convenant que
(g o $f)^{<0>}$ = $Id_A$ , (f o g) $)^{<0>}$ = $Id_B$ ) :

X = U (g o $f)^{< n >}$ (A \ A’) , Y = U (f o $g)^{< n >}$ (B \ B’) .

Alors X ⊂A et Y⊂B ; si x∈A \ X, à fortiori x ∈A \ (A \ A’) = A’ , donc x est
l’image par g d’un unique z ∈B. Posons : si x ∈X, φ(x) = f(x) ; si x ∈A\ X,
φ (x) = l’unique z ∈B tel que g(z) = x. On a ainsi défini une application
φ: A → B . De même on définit Ψ : B → A par Ψ (x) = g(x) si x ∈Y et
Ψ (x) = l’unique z ∈A tel que f(z) = x si x ∈B \ Y . On contrôle facilement que
Ψ o φ = $Id_A$ et que φ o Ψ = $Id_B$ , donc φ et Ψ sont des bijections réciproques l’une de l’autre , et A est bien équipotent à B .

Fin de citation.

De plus, en bas de page, on a la note suivante :
(1) Bernstein (Serge) : Mathématicien russe (1880-1968), né à Odessa, auteur notamment de
travaux sur l’approximation des fonctions continues.

Qui laisse à penser une confusion avec Félix Bernstein.

Citation
On contrôle facilement que
Ψ o φ = $Id_A$ et que φ o Ψ = $Id_B$ , donc φ et Ψ sont des bijections réciproques l’une de l’autre

Or, je ne parviens pas à établir cela. Pire, en démontrant le th de C.B avec la même méthode, il me semble, sauf erreur de ma part, avoir trouvé des contre-exemples où φ et Ψ sont bien des bijections, mais pas réciproques l’une de l’autre.

J’attends donc une aide de votre part : qui se trompe et où ?
Merci d’avance.

Up !

Bon, tant pis.

Ne te décourage pas, j'ai toujours l'intention de m'y coller, mais ce genre de problème nécessite un rien de calme pour pouvoir se mettre la cervelle au court-bouillon.
Il est clair qu'Arnaudies - avec tout le respect que je lui dois - se fiche du monde dans sa rédaction avec son "On contrôle facilement ".
Je n'ai pas l'impression qu'il y ait de grosses difficultés, mais il faut se goinfrer tous les cas.

À suivre ?

Merci en tout cas de t'y atteler.
L'un de ces contre-exemples dont je parle se situe [ ici ](http://mathtous.perso.sfr.fr/articles/Cantor Bernstein.pdf " ici "), bas page 5 du fichier pdf.
Mes questionnements sont donc :

ai-je bien utilisé la même méthode que celle décrite chez Arnaudiès ?
mes contre-exemples sont-ils bien conformes à cette méthode ?
ai-je commis une erreur dans ces contre-exemples ?

Huppe !

Personne ?