Théorème de Cantor Bernstein


  • M

    Bonjour à tous,
    Depuis un certain temps, une question me taraude, à laquelle je n’ai pas obtenu à ce jour de réponse.
    Dans l'ouvrage d'Arnaudiès et Fraysse, Cours de Mathématiques-1, Algèbre, page 59, édition de 1990, je trouve ceci :
    Je cite :
    Citation

    Théorème II.3.10 (Bernstein (1), 1897)
    Soit A et B deux ensembles. S’il existe une injection f : A → B et une
    injection g : B → A, alors A et B sont équipotents.

    Démonstration :
    Soit B’ = f(A) et A’ = g(B). On pose (en convenant que
    (g o $f)^{<0>}$ = IdAId_AIdA, (f o g) $)^{<0>}$ = IdBId_BIdB ) :

    X = U (g o $f)^{< n >}$ (A \ A’) , Y = U (f o $g)^{< n >}$ (B \ B’) .

    Alors X ⊂A et Y⊂B ; si x∈A \ X, à fortiori x ∈A \ (A \ A’) = A’ , donc x est
    l’image par g d’un unique z ∈B. Posons : si x ∈X, φ(x) = f(x) ; si x ∈A\ X,
    φ (x) = l’unique z ∈B tel que g(z) = x. On a ainsi défini une application
    φ: A → B . De même on définit Ψ : B → A par Ψ (x) = g(x) si x ∈Y et
    Ψ (x) = l’unique z ∈A tel que f(z) = x si x ∈B \ Y . On contrôle facilement que
    Ψ o φ = IdAId_AIdA et que φ o Ψ = IdBId_BIdB , donc φ et Ψ sont des bijections réciproques l’une de l’autre , et A est bien équipotent à B .

    Fin de citation.

    De plus, en bas de page, on a la note suivante :
    (1) Bernstein (Serge) : Mathématicien russe (1880-1968), né à Odessa, auteur notamment de
    travaux sur l’approximation des fonctions continues.

    Qui laisse à penser une confusion avec Félix Bernstein.

    Citation
    On contrôle facilement que
    Ψ o φ = IdAId_AIdA et que φ o Ψ = IdBId_BIdB , donc φ et Ψ sont des bijections réciproques l’une de l’autre

    Or, je ne parviens pas à établir cela. Pire, en démontrant le th de C.B avec la même méthode, il me semble, sauf erreur de ma part, avoir trouvé des contre-exemples où φ et Ψ sont bien des bijections, mais pas réciproques l’une de l’autre.

    J’attends donc une aide de votre part : qui se trompe et où ?
    Merci d’avance.


  • M

    Up !


  • M

    Bon, tant pis.


  • O

    Ne te décourage pas, j'ai toujours l'intention de m'y coller, mais ce genre de problème nécessite un rien de calme pour pouvoir se mettre la cervelle au court-bouillon.
    Il est clair qu'Arnaudies - avec tout le respect que je lui dois - se fiche du monde dans sa rédaction avec son "On contrôle facilement ".
    Je n'ai pas l'impression qu'il y ait de grosses difficultés, mais il faut se goinfrer tous les cas.

    À suivre ?


  • M

    Merci en tout cas de t'y atteler.
    L'un de ces contre-exemples dont je parle se situe [ ici ](http://mathtous.perso.sfr.fr/articles/Cantor Bernstein.pdf " ici "), bas page 5 du fichier pdf.
    Mes questionnements sont donc :

    • ai-je bien utilisé la même méthode que celle décrite chez Arnaudiès ?
    • mes contre-exemples sont-ils bien conformes à cette méthode ?
    • ai-je commis une erreur dans ces contre-exemples ?

  • M

    Huppe !


  • M

    Personne ?


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