Etudier les variations d'une fonction

Bonjour, j'ai a faire pendant les vacances un dm mais après quelques tentatives tous ce que j'ai fais ce retrouve faux donc je ne comprend pas ce que je dois faire ...
Voici l'énoncé :

g est le fonction définie sur ] -1;+infini [ par g(x) = (1-3x)÷3(1+x³)
1/ Montrer que g'(x) est toujours du signe du polynôme de f(x) = 2x³-x²-1
2/ Étudier les variations de f sur ] -1;+infinie [
3/ Calculer f(1) et en déduire le signe de f(x) sur ]-1; + infinie [
4/ En déduire les variations de g sur ] -1; + infinie [

J'ai essayé de faire la dérivée de g(x) mais je n'arrive pas à la terminer et je ne comprend pas comment on peut montrer qu'elle est du même signe de f.
Pour la question 2, j'ai calculer la dérivée de f fais le tableau de variation mais si je vérifie à la calculette c'est faux.
Pour la question 3, je ne comprend pas comment on peut déduire le signe de f(x) d'après f(1) qui fait 0. Et comme je n'ai aucune réponse pour l'instant la question 4 non plus je ne l'ai pas ...

Merci de me donner quelques informations pour comprendre mieux et me dire ce que je dois faire en me l'expliquant. Merci d'avance, Méline

Bonjour,

On est bien d'accord

$g(x),=,,1−3x,,3,(1+x3),g(x),=,\frac{,1-3x,}{,3,(1+x^3),}$

Modif de Zorro : dénominateur = 1+ x³ et non 1 - x³

f est de la forme f = u/v

avec

u(x) = ... et u'(x) = ...

et

v(x) = ... et v'(x) = ...

Or si f = u/v comment calculer f' ?

La fonction g(x) = (1-3x)÷3(1+x³) oui.
Je me disais aussi qu'il fallais que je trouve quelque chose qui ressemble à le fonction f pour voir que oui elle était du même signe.
Mais pour g'(x) j'arrive à (36x³-9x²-9)÷(9+18x³+9x^6) je pense que je me suis donc trompé quelque part..

Zorro
Bonjour,

On est bien d'accord

$g(x),=,,1−3x,,3,(1−x3),g(x),=,\frac{,1-3x,}{,3,(1-x^3),}$

Non le numérateur est bon, sauf que le dénominateur c'est 3(1+x³)

Zorro
f est de la forme f = u/v

avec

u(x) = ... et u'(x) = ...

et

v(x) = ... et v'(x) = ...

Or si f = u/v comment calculer f' ?

J'ai u = 1-3x
u' = -3
v = 3(1+x³) soit 3+3x³ ?
et v' = 9x²

Après on fait (u' x v - u x v')÷(v²)

oui , alors que trouves tu pour f'(x) ?

pour f'(x) = 6x²-2x
et g'(x) = (36x³-9x²-9)/ (3+3x³)²

c'est g(x) qui est de la forme u/v pas f non ?
Donc les u, v u', et v' au dessus c'est ceux de g(x) pas de f(x)

Il y a encore des erreurs !

u(x) = 1-3x
u'(x) = -3
v(x) = 3(1+x³) soit 3+3x³
v'(x) = 9x²

Jusque là c'est bon

Il manque (v(x))² = quoi ?

Et les calculs de g'(x) ont faux .... recommence calmement

C'est bon je crois que j'ai trouvé les réponses aux deux premières questions de l'exercice :

pour g'(x) = (18x³-9x²-9)/(3+3x³)²
Donc le carré (dénominateur) est toujours positif et le numérateur on a bien les même signes que la fonction f(x) donc g'(x) est toujours du signe de f(x). C'est bon sa ?

Pour la question deux j'ai pour f'(x) = 6x²-2x donc j'ai calculé delta les racines fait le tableau de signe et ensuite de variations et je trouve que f(x) est croissante de -1 à -1/6 décroissante de -1/6 à 1/2 et ensuite a nouveau croissante de 1/2 jusqu'à l'infini . Voilà

Par contre pour les questions 3 et 4 d'après je n'arrive pas ..

Pourquoi (18x³-9x²-9)/(3+3x³)² est il du même signe que 2x³-x²-1

Certes le dénominateur est un carré donc

(18x³-9x²-9)/(3+3x³)² a le même signe que 18x³-9x²-9

Or on te demande de démontrer que g'(x) est toujours du signe du polynôme

f(x) = 2x³-x²-1

Dans 18x³ - 9x² - 9 = (9*2)x³ - 9x² - 9 , tu ne pourrais pas mettre quelque choe en facteur ?

Bah si peut mettre 9 non ? Mais sa ne suffit pas ce que j'ai mis ? Pourquoi il faut faire sa ensuite ?

si on factorise avec 9 sa fait
9(2x³-x²-1) ?

pour la question 3 on trouve f(1)=0 comment peut--on déduire le sens de variation d'après cette réponse ??