développement limité d'ordre 3

[minnale]

Bonjour!
Je continue à m'entrainer en maths... Mais cet exercice me perturbe! Puis-je avoir de l'aide svp? Merci!
On considère la fonction f(x)= α²xe^(αx), où α désigne une constante réelle strictement positive. Cette fonction est couramment utilisée pour modéliser le courant unitaire des synapses.

1. Quel est le développement limité de cette fonction à l'ordre 3 au voisinage de x=0?
2. Faire une étude complète de cette fonction .

(un seul exercice par discussion )

[mtschoon]

Bonjour,

Pour le DL à l'ordre 3 :

$f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(0)+\frac{x^2}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)+\frac{x^3}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }(0)+ϵ(x^3)$

c'est à dire :

$f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(0)+\frac{x^2}{2}{f}^{\prime \prime }(0)+\frac{x^3}{6}{f}^{\prime \prime \prime }(0)+ϵ(x^3)$

Tu calcules donc successivement f'(x) , f''(x) , f'''(x) , tu prends les valeurs à 0 puis tu appliques la formule jointe.

Comme cette question sur les DL n'est pas au programme du Bac français mais de Bac+1 , je vais la mettre dans la rubrique "Supérieur"

Rappel : un seul exercice par topic.

Remarque : doublon

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-491010.html

[minnale]

Donc pour f'(x) je trouve (uv) f'(x)= e^(αx) + α²xαe^(αx) c'est bon?

[mtschoon]

Pour ta dérivée , il semble manquer un α²

Je te mets les principaux résultats pour que tu puisses vérifier toi -même

je mets "a" au lieu de "α" pour faciliter l'écriture.

$f^{\prime }(x)=(a^{3}x+a^2)e^{ax}$
$f^{\prime \prime }(x)=a^3(ax+2)e^{ax}$
$f^{\prime \prime \prime }(x)=a^4(ax+3)e^{ax}$

$f(0)=0$
$f^{\prime }(0)=a^2$
$f^{\prime \prime }(0)=2a^3$
$f^{\prime \prime \prime }(0)=3a^4$

$f(x)=a^{2}x+a^3{x}^2+\frac{a^4}{2}{x}^3+ϵ(x^3)$

A toi de jouer maintenant .

[Ostap_Bender]

Bonjour et bon dimanche.

Si la méthode de mtschoon - que je salue - aboutit, ce n'est pas la méthode à conseiller en général pour calculer un développement limité. En effet le but des développements limités est d'éviter de calculer les dérivées successives qui peuvent très vite devenir pénibles pour des quotients.

En posant $u=ax$, on a $f(x)=au{e}^u$.
Or $e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+u^2\epsilon (u).$
Donc $f(x)=a^{2}x\left(1+ax+\frac{a^2{x}^2}{2}\right)+x^3\epsilon (x)$.
Pour l'étude de la fonction, tout dépend du signe de a.
Elle revient à changement d'échelle près à celle de $u\to u{e}^u$.

[mtschoon]

Bonjour Ostap-Bender ,

Tout à fait d’accord avec toi .
Prendre un DL usuel est plus simple que prendre la formule théorique !

J'ignore la formation suivie par Minnale , mais c'est curieux ...
Vu ses questions récentes sur des équations trigonométriques niveau Première) et ensuite sur des primitives ( niveau Terminale) et ne sachant pas vraiment ce qu il connaissait , j’ai choisi la méthode la plus basique possible…

Maintenant , il a les deux versions au choix , en fonction de son cours ; c'est très bien.

Pour l’étude de la fonction , aucune dificulté car que l’énoncé précise "α désigne une constante réelle strictement positive"

PS : Si un jour tu as le temps , ce serait très gentil de répondre à la question de Mathtous sur le théorème de Cantor Berntein . Cela semble être parfaitement dans ton domaine .