Former des développements limités majorations tayloriennes



  • Bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plaît sur l'exercice au (4°) et (5°) et voir si les autres sont juste, merci

    Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0,1] par f(t) =et=e^t

    1° Montrer que pour tout réel t de [0,1] on a 1 < ou = ete^t< ou =e (1)
    Soit x un réel de [0,1]; en intégrant de 0 à x les inégalités précédentes, démontrer que l'on a :
    1+x< ou = exe^x < ou = 1 + e x (2)

    --> (x-0) < ou = (ex-e0) < ou = e.x - e.0), pour tout x dans [0,1]
    --> x < ou = ex - 1 < ou = ex
    --> 1 + x < ou = ex < ou = 1 + ex

    2° en intégrant les inégalités (1) et (2) de 0 à x pour tout x de [0,1], montrer qu'on a : 1+x+(x21+x+(x^2/2< ou = exe^x < ou = 1+x+e (x2(x^2/2
    --> (x + x 2/2 - 0) < ou = (ex -e0) < ou = (x+e.x 2/2 - 0) pour x dans [0,1]
    --> x+x 2/2 < ou = ex < ou = 1+x+e. 2/2

    3° interpréter graphiquement ce résultat dans un répère orthonormal en considérant, pour x dans [0,1], les arcs de courbes d'équations respectives :

    y=1+x+ (x2(x^2/2 ; y=exy=e^x ; y=1+x+e (x2(x^2/2)

    --> comme la fonction exponentielle est encadrée par les fonctions alors :
    --> x-> 1 + x + x2x^2 /2 et
    --> x-> 1 + x + ex2/2ex^{2/2} pour tout x dans [0,1]
    --> les graphes des trois fonctions sont situés l'un en dessous de l'autre sur [0,1]

    4° Sachant que sur [0,1] on a | f'(t) | < ou = e, écrire l'inégalité de Taylor correspondante ; donne t elle un meilleur encadrement de exe^x que le résultat précédent ?

    ?

    5° Former les développements limités au point zéro à l'ordre n des fonctions définies par :

    1. f(x)=exf(x)=e^x -ln(1+x); n=2
    2. g(x)=2ln(1+x)+√ 1+x ; n=3
    3. h(x)=1-x/1+x ; n=3

    ?


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