Former des développements limités majorations tayloriennes

[plumenoire]

Bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plaît sur l'exercice au (4°) et (5°) et voir si les autres sont juste, merci

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0,1] par f(t) $=e^t$

1° Montrer que pour tout réel t de [0,1] on a 1 < ou = $e^t$< ou =e (1)
Soit x un réel de [0,1]; en intégrant de 0 à x les inégalités précédentes, démontrer que l'on a :
1+x< ou = $e^x$ < ou = 1 + e x (2)

--> (x-0) < ou = (ex-e0) < ou = e.x - e.0), pour tout x dans [0,1]
--> x < ou = ex - 1 < ou = ex
--> 1 + x < ou = ex < ou = 1 + ex

2° en intégrant les inégalités (1) et (2) de 0 à x pour tout x de [0,1], montrer qu'on a : $1+x+(x^2$/2< ou = $e^x$ < ou = 1+x+e $(x^2$/2
--> (x + x 2/2 - 0) < ou = (ex -e0) < ou = (x+e.x 2/2 - 0) pour x dans [0,1]
--> x+x 2/2 < ou = ex < ou = 1+x+e. 2/2

3° interpréter graphiquement ce résultat dans un répère orthonormal en considérant, pour x dans [0,1], les arcs de courbes d'équations respectives :

y=1+x+ $(x^2$/2 ; $y=e^x$ ; y=1+x+e $(x^2$/2)

--> comme la fonction exponentielle est encadrée par les fonctions alors :
--> x-> 1 + x + $x^2$ /2 et
--> x-> 1 + x + $e{x}^{2/2}$ pour tout x dans [0,1]
--> les graphes des trois fonctions sont situés l'un en dessous de l'autre sur [0,1]

4° Sachant que sur [0,1] on a | f'(t) | < ou = e, écrire l'inégalité de Taylor correspondante ; donne t elle un meilleur encadrement de $e^x$ que le résultat précédent ?

?

5° Former les développements limités au point zéro à l'ordre n des fonctions définies par :

1. $f(x)=e^x$ -ln(1+x); n=2
2. g(x)=2ln(1+x)+√ 1+x ; n=3
3. h(x)=1-x/1+x ; n=3

?