Etudier la croissance et la convergence d'une suite et donner sa limite

Bonjours Je suis en train de reviser pour les ratrapage sur un annale et je bloque sur un exo :

Soient an et bn deux suites vérifi ant :

∀n >= 0 , an>0 , bn>0 , an+1= 1/2(an+bn) , bn+1=anbn/an+bn

Montrer que ∀n >= 0 , an+1-bn+1 = 1/2 ( an²+bn²/an+bn ) . Que peut-on dire du signe de an-bn pour n>=1 ?

2)Montrer que les suites an et bn sont décroissantes , et ceci à partir du rang 1 .

3)Montrer que les suites an et bn sont convergentes .

4)Montrer que les suites an et bn convergent vers une même limite .

Voilà je suis bloquer a la question 2 , si vous avez des conseils a me donner merci !

Salut.
Si tu as répondu à la 1ere question et en calculant :
$an+1−an=bn−an2a_{n+1}-a_n=\frac{b_n-a_n}{2}$ et :
$bn+1−bn=−bn2an+bnb_{n+1}-b_n=\frac{-b_{n}^2}{a_n+b_n}$ les réponses sont évidentes.
Il s'agit,je crois, d'un exercice portant sur les moyennes arithmétique
et harmonique.
Bon courage.

Bonjour , oui j'ai réussi a trouver sa , merci

par contre la question 4 je ne vois pas comment m'y prendre .

Bonjour,

Une piste pour la 4) ( vu que tu sais que les 2 suites sont convergentes )

Si j'ai bien lu , tu sais que :

$\left{a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+b_n)\b_{n+1}(a_n+b_n)=a_nb_n\right$

Soit l la limite de $a_n$ ) et l' la limite de $b_n$ )

Par passage à la limite :

$\left{l'=\frac{1}{2}(l+l')\{l'(l+l')=ll'\right$

En résolvant ce système , tu dois obtenir l=l'=0

Ah huuum pour la 3) j'ai repondu que comme les suite sont décroissante et minoré par 0 , elles sont donc convergentes .

Oui , ta démarche pour la 3) est bonne. ( les suites sont décroissantes et minorées par 0 donc convergentes )

Mais avec cette réponses est ce que je peux dire que la limite commune est 0 ?

De quelle réponse parles -tu ?

Avec la réponse de la 3) , tu peux seulement dire que chacune des deux suites est convergente (chacune a une limite positive ou nulle , vu que le minorant est 0 )

Avec le calcul proposé à la 4) , tu peux dire , en plus , que les deux suites ont une limite commune qui est 0

Avec la réponse que j'ai proposé .

Je ne voit pas comment faire les calculs avec l et l' .

S'agit -il du système que tu n'arrives pas à résoudre ?

$\left{l'=\frac{1}{2}(l+l')\{l'(l+l')=ll'\right$

Avec la première équation , tu peux déduire : 2l'=l+l' <=> l'=l

Tu sais ainsi que les limites sont égales.

En substituant dans la seconde équation , tu peux trouver la valeur de cette limite commune :

l(l+l)=l² <=> l(2l)=l² <=> 2l²=l² <=> l²=0 <=>l=0

CONCLUSION :l=l'=0

Oui merci je vois ! Je n'avais pas pensé a faire comme sa !

Je te remercie !

De rien . A+.