Accroissements finis , Rolle

Soit f une fonction deux fois dérivable sur R vérifiant

(i) ∀x ∈ [ 0,1] , x² ≤ f(x)
(ii) ∀x ∈ [ 0,1] , x - x² ≤ f(x)
(iii) ∀x ∈ [ 0,1] , f(x) ≤ x

Calculer f(0) et f(1) . Montrer qu'il existe c1 ∈ ]0,1[ tel que f'(c1) =1.
Quelle est la définition de dérivée à droite en un point ? En déduire la valeur de fd'(0) puis de f'(0) .
Montrer qu'il existe c2 ∈ ]0,1[ tel que f''(c2)=0 .

Voilà je ne sais pas comment commencer cette exo

Rebonjour,

Je regarde le début,

∀x ∈ [0,1] x² ≤ f(x) ≤ x

Pour x=0 : 0² ≤ f(0) ≤ 0 , donc 0 ≤ f(0) ≤ 0 donc f(0)=...

Pour x=1 : 1² ≤ f(1) ≤ 1 , donc 1 ≤ f(1) ≤ 1 donc f(1)=...

Merci , jai donc f(0)=0 et f(1)=1 , pour trouver c1 j'ai regarder dans mes formules je sais que je dois utiliser Rolle mais je ne sais pas comment m'en servir .

Le théorème des accroissements finis me parait mieux adapté

f(1)-f(0)=(1-0)f' $c_1$ ) donc f' $c_1$ )= ...

Merci oui je trouve donc f'(c1) = 1 et c'est fini ?

Ensuite dans la question 2 je donne la définition puis je cherche fd'(0) et je trouve = f(h)/h

Oui pour f' $c_1$ )=1 mais , bien sûr , tu explicites pour justifier que les hypothèses du théorème sont bien réalisées dans ton exercice.

Pour $f_d$ '(0) , il faut que tu cherches la limite de f(h)/h lorsque h tend vers 0 par valeurs positives : cette limite sera $f_d$ '(0) .
Pour cela , utilise les inégalités données dans l'énoncé.

Je dois utiliser l'inégalité iii ?

Ue seule inégalité ne peut pas suffire .

Il faut encadrer f(h) puis f(h)/h

h²≤f(h)≤h
puis
h²/h≤f(h)≤h/h

h≤f(h)/h≤1 ??

Tu n'as pas choisi le bon encadrement .

Avec l'encadrement que tu as choisi , tu peux seulement prouver , en prenant la limite ( lorsque h tend vers 0+ ) que : 0 ≤ $f_d$ '(0 )≤ 1

Utilise donc ii et iii :

h-h² ≤ f(h) ≤ h donc .................

Sa donne (h/h)-h²/h≤f(h)/h≤h/h
1-h≤f(h)/h≤1

quand h tend vers 0 sa donne 1≤fd'(h)≤1 donc sa donne 1

Pour f'(0) puis-je faire pareil ? (x-x²)'≤f'(x)≤x'

1-2x≤f'(x)≤1
1-2x0≤f'(0)≤1
1≤f'(0)≤1

f'(0)=1 ?

Ton avant dernière réponse est exacte , mais l'explication donnée à ta dernière réponse est à revoir.

Vu que par hypothèse f est une fonction deux fois dérivable sur R , nécessairement f est dérivable en 0

Tu as prouvé de f' $_d$ (0)=1 , forcémentf'(0)=f' $_d$ (0)=1

Ah d'accord merci ! Pour la question 3 je dois faire pareil que la question 1 ?

Pour la question 3) , utilise tout simplement les résultats de la 1) et de la 2)

(Essaie de penser aux enchaînements logiques entre les questions . Les deux premières questions étaient demandées pour pouvoir faire la troisième ).

Tu sais que f' $c_1$ )=1 et que f'(0)=1

Tu peux appliquer le théorème de Rolle à la fonction f' sur [0, $c_1$ ] donc ...........

Je dois dire que comme f'(c1)=f'(0) alors ∃c2 ∈ ]0,1[ tel que f''(c2)=0 ? je ne maîtrise pas très bien Rolle donc je ne suis pas sur .

Ta démarche n'est pas claire.

Regarde ton cours avec soin sur Rolle ( et sur les accroissements finis )

L'hypothèse de l'énoncé ( f deux fois dérivable sur R , donc f' dérivable (donc continue) sur R ) permet d'utiliser le théorème de Rolle pour f' .

f'(c1)=f'(0) , donc il existe $c_2$ de ]0 , $c_1$ [ tel que f'' $c_2$ )=0

Comme ] 0, $c_1$ [ C ]0 , 1[ , tu as la conclusion souhaitée.

Dans mon cour le théorème dit : Soit f une fonction continue sur [a,b] dérivable sur ]a,b[ .
Si f(a)=f(b) , il existe c ∈ ]a,b[ tel que f'(c)=0

Comme tu m'as dit , ma fonction est 2 fois dérivable donc pour trouver f''(c2)=0 je dois utiliser f'(c1). Je sais que f'(c1)=f'(0) , donc avec le théorème il existe c2 ∈ ]0,c1[ tel que f''(c2)=0 . ( J'ai repris ce que tu as dit mais c'est sa quand on applique le th )

Ensuite comme tu as dit a la fin je peux conclure que c2 ∈ ]0,1[ .

Je pense que tu as bien compris !

Merci pour tout !

C'était avec plaisir !