Montrer qu'une suite est croissante

[shizuki]

Bonjour , Je fais un exercice et je suis un peu bloqué à une question :

Soient $u_n$ , $v_n$ , $w_n$ les suites définies pour n ∈ lN par les relations

$u_0$=0 , ∀n≥1 , $u$n$=u${n-1}$+((-1{)}^{n-1}$)/n , ∀n≥0 , $v$n$=u</em>2n$ et $w$n$=u</em>2n+1$

A1) Calculer les quantités $(u$_3$-u_1$) et ( $u$_4$-u_2$) .

Ici j'ai trouver $u_1$=1 , $u_2$=1/2 , $u_3$=5/6 , $u_4$=7/12 , Donc $(u$_3$-u_1$)=11/6 et ( $u$_4$-u_2$)=25/12

A2)Soit n≥0 . Montrer que $u${2n+2}$-u</em>2n$=(1/2n+1)-(1/2n+2) . Que peut-on en déduire sur $v$_{n+1}$-v_n$ ? Montrer que la suite $v_n$ est croissante .

Voilà ici je suis bloqué j'ai remplacer n par 0 puis par un et je retrouve comme dans la question précédente mais je ne sais pas si c'est sa qu'il faut faire . Et je ne sais pas quoi en déduire sur $v$_{n+1}$-v_n$

Merci de m'aider , l'exercice continue plus loin mais je mettrai la suite si je suis encore bloqué .

[mtschoon]

Bonjour,

Je commence à regarder tes premières réponses.

OK pour U1 , U2 , U3 , U4

Peut-être pourrais-tu recompter U3-U1 et U4-U2

[shizuki]

mtschoon
Bonjour,

Je commence à regarder tes premières réponses.

OK pour U1 , U2 , U3 , U4

Peut-être pourrais-tu recompter U3-U1 et U4-U2

Hum oui pardon u3-u1=-1/6 et u4-u2=1/12

[mtschoon]

D'accord avec tes dernières réponses.

Pour la question A2) , tu dois faire des démonstrations générales

Calcule $U_{n+2}$ en fonction de $U_{n+1}$ , puis $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$
Tu pourras en déduire $U_{n+2}$ en fonction de $U_n$ , d'où la différence .

Rappel :
(-1) élévé à une puissance paire vaut 1
(-1) élévé à une puissance impaire vaut -1

Après calculs , sauf erreur , tu dois trouver :

$u_{2n+2}=u_{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$
$u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}$
d'où :
$u_{2n+2}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$
puis :
$u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

Bons calculs !

[shizuki]

Merci beaucoup j'ai réussi a faire la calcule . Ensuite pour $v$_{n+1}$-v_n$

J'ai fait
u$<em>n+2$=u$</em>n+1$+(-1)^{n+1}$/n+2( d'après ce que j'ai fait )

u$<em>2n+2$=u$</em>2n+1$+(-1)^{2n+1}$/2n+2

u$<em>2n+1$=u{2n+2}$+1/2n+2

$u${2n+1}$-u${2n}$=u${2n+2}$+(1/2n+2)-u</em>2n$
= (1/2n+1)-(1/2n+2)+(1/2n+2)=1/2n+1

$v${n+1}$=u</em>2n+1$
$v$n$=u</em>2n$

Donc
1/2n+1=v${}_{n+1}$-v_n$

C'est sa que je dois faire ? Merci

[mtschoon]

Le début est bon , mais ensuite il y a des confusions.

Je détaille un peu

$u_{2n+2}=u_{2n+1}+\frac{(-1{)}^{2n+1}}{2n+2}$ (***)
donc :
$u_{2n+2}=u_{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

$u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{(-1{)}^{2n}}{2n+1}$
donc :
$u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}$ (**)

Dans la formule (*) , tu remplaces $U_{2n+1}$ par l'expression ()

Tu trouves ainsi :

$u_{2n+2}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

En transposant $U_{2n}$

$u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

Tu peux bien sûr avoir une seule fraction :

$\fbox{u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}}$ (*****)

Pour la suite (Vn) , tu as une erreur sur $V_{n+1}$

$v_{n+1}=u_{2(n+1)}=u_{2n+2}$
$v_n=u_{2n}$

La formule (*****) te permet d'avoir l'expression $v_{n+1}-v_n$

En cherchant son signe , tu auras le sens de variation de la suite (Vn)

[shizuki]

Je ne vois pas comment tu as eu $U${2n+1}$=u${2n}$+(-1{)}^{2n}$/2n+1

Ensuite pour $V_{n+1}$ oui je me suis trompé donc c'est $U_{2n+2}$ Merci

[mtschoon]

Pour déterminer $u_{2n+1}$, tu prends la formule donnée dans l'énoncé $u_n=...$ et tu remplaces n par 2n+1

C'est exactement pareil pour déterminer $u_{2n+2}$, tu prends la formule donnée dans l'énoncé $u_n=...$ et tu remplaces n par 2n+2

[shizuki]

Ah d'accord ! merci je vais faire les calculs !