Suites



  • Bonjour , Je fais un exercice et je suis un peu bloqué à une question :

    Soient unu_n , vnv_n , wnw_n les suites définies pour n ∈ lN par les relations

    u0u_0=0 , ∀n≥1 , uun=u=u{n-1}+((1)n1+((-1)^{n-1})/n , ∀n≥0 , vvn=u</em>2n=u</em>{2n} et wwn=u</em>2n+1=u</em>{2n+1}

    A1) Calculer les quantités (u(u_3u1-u_1) et ( uu_4u2-u_2) .

    Ici j'ai trouver u1u_1=1 , u2u_2=1/2 , u3u_3=5/6 , u4u_4=7/12 , Donc (u(u_3u1-u_1)=11/6 et ( uu_4u2-u_2)=25/12

    A2)Soit n≥0 . Montrer que uu{2n+2}u</em>2n-u</em>{2n}=(1/2n+1)-(1/2n+2) . Que peut-on en déduire sur vv_{n+1}vn-v_n ? Montrer que la suite vnv_n est croissante .

    Voilà ici je suis bloqué j'ai remplacer n par 0 puis par un et je retrouve comme dans la question précédente mais je ne sais pas si c'est sa qu'il faut faire . Et je ne sais pas quoi en déduire sur vv_{n+1}vn-v_n

    Merci de m'aider , l'exercice continue plus loin mais je mettrai la suite si je suis encore bloqué .


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je commence à regarder tes premières réponses.

    OK pour U1 , U2 , U3 , U4

    Peut-être pourrais-tu recompter U3-U1 et U4-U2



  • mtschoon
    Bonjour,

    Je commence à regarder tes premières réponses.

    OK pour U1 , U2 , U3 , U4

    Peut-être pourrais-tu recompter U3-U1 et U4-U2

    Hum oui pardon u3-u1=-1/6 et u4-u2=1/12


  • Modérateurs

    D'accord avec tes dernières réponses.

    Pour la question A2) , tu dois faire des démonstrations générales

    Calcule Un+2U_{n+2} en fonction de Un+1U_{n+1} , puis Un+1U_{n+1} en fonction de UnU_n
    Tu pourras en déduire Un+2U_{n+2} en fonction de UnU_n , d'où la différence .

    Rappel :
    (-1) élévé à une puissance paire vaut 1
    (-1) élévé à une puissance impaire vaut -1

    Après calculs , sauf erreur , tu dois trouver :

    u2n+2=u2n+112n+2u_{2n+2}=u_{2n+1}-\frac{1}{2n+2}
    u2n+1=u2n+12n+1u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}
    d'où :
    u2n+2=u2n+12n+112n+2u_{2n+2}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}
    puis :
    u2n+2u2n=12n+112n+2u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}

    Bons calculs !



  • Merci beaucoup j'ai réussi a faire la calcule . Ensuite pour vv_{n+1}vn-v_n

    J'ai fait
    u<em>n+2<em>{n+2}=u</em>n+1</em>{n+1}+(-1)^{n+1}$/n+2( d'après ce que j'ai fait )

    u<em>2n+2<em>{2n+2}=u</em>2n+1</em>{2n+1}+(-1)^{2n+1}$/2n+2

    u<em>2n+1<em>{2n+1}=u{2n+2}$+1/2n+2

    uu{2n+1}u-u{2n}=u=u{2n+2}+(1/2n+2)u</em>2n+(1/2n+2)-u</em>{2n}
    = (1/2n+1)-(1/2n+2)+(1/2n+2)=1/2n+1

    vv{n+1}=u</em>2n+1=u</em>{2n+1}
    vvn=u</em>2n=u</em>{2n}

    Donc
    1/2n+1=vn+1_{n+1}-v_n$

    C'est sa que je dois faire ? Merci


  • Modérateurs

    Le début est bon , mais ensuite il y a des confusions.

    Je détaille un peu

    u2n+2=u2n+1+(1)2n+12n+2u_{2n+2}=u_{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2} (***)
    donc :
    u2n+2=u2n+112n+2u_{2n+2}=u_{2n+1}-\frac{1}{2n+2}

    u2n+1=u2n+(1)2n2n+1u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{(-1)^{2n}}{2n+1}
    donc :
    u2n+1=u2n+12n+1u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1} (**)

    Dans la formule (*) , tu remplaces U2n+1U_{2n+1} par l'expression ()

    Tu trouves ainsi :

    u2n+2=u2n+12n+112n+2u_{2n+2}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}

    En transposant U2nU_{2n}

    u2n+2u2n=12n+112n+2u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}

    Tu peux bien sûr avoir une seule fraction :

    u2n+2u2n=1(2n+1)(2n+2)\fbox{u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}} (*****)

    Pour la suite (Vn) , tu as une erreur sur Vn+1V_{n+1}

    vn+1=u2(n+1)=u2n+2v_{n+1}=u_{2(n+1)}=u_{2n+2}
    vn=u2nv_n=u_{2n}

    La formule (*****) te permet d'avoir l'expression vn+1vnv_{n+1}-v_n

    En cherchant son signe , tu auras le sens de variation de la suite (Vn)



  • Je ne vois pas comment tu as eu UU{2n+1}=u=u{2n}+(1)2n+(-1)^{2n}/2n+1

    Ensuite pour Vn+1V_{n+1} oui je me suis trompé donc c'est U2n+2U_{2n+2} Merci


  • Modérateurs

    Pour déterminer u2n+1u_{2n+1}, tu prends la formule donnée dans l'énoncé un=...u_n=... et tu remplaces n par 2n+1

    C'est exactement pareil pour déterminer u2n+2u_{2n+2}, tu prends la formule donnée dans l'énoncé un=...u_n=... et tu remplaces n par 2n+2



  • Ah d'accord ! merci je vais faire les calculs !


 

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