Calculer la matrice dans la base B d'un endomorphisme linéaire



  • Bonjour à tous,

    Je fais des exos de révision et je butte sur une question dont je ne comprends pas du tout le sens.
    Ca traite des familles de vecteurs. On me donne B une famille formée de v1v_1=(2, -1) et v2v_2=(1, -1) de R².

    On me demande de prouver que c'est une base de R², pas de soucis, par contre après, je dois ' Calculer la matrice dans la base B de l'endomorphisme linéaire suivant:

    R²→R²
    (x, y) → (4x+2y, -x+y) '

    Je vois pas ce que veut dire la seconde ligne du système, et vers quoi m'orienter pour tenter de répondre à la question.

    Merci d'avance si quelqu'un peut me guider

    Kiki


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Quelques idées,

    Soit f l'endomorphisme

    f(x,y)=(4x+2y,-x+y)

    Commence par calculer f(v1) et f(v2)

    f(v1)=f(2,-1)
    f(v2)=f(1,-1)

    Sauf erreur , après calculs :

    f(v1)=(6,-3) et f(V2)=(2,-2) ( vérifie )

    Ensuite , tu cherches les coordonnées de f(v1) et f(v2) dans la base B:

    (6,-3)=a(2,-1)+b(1,-1)
    (2,-2)=c(2,-1)+d(1,-1)

    Tu auras un système de 4 équations à 4 inconnues a,b,c,d à résoudre.

    La matrice cherchée sera

    mf=(a c b d)m_f=\left(a \ c \ b \ d \right)



  • Bonjour et merci de la réponse,

    En effet je trouve bien f(v1)=(6, -3) et f(v2)=(2, -2)

    Après avoir résolu le système j'en arrive à a=1, b=4, c=0 et d=2

    Et je trouve MfM_f=2

    Aux éventuelles erreurs de calculs près, je vais reprendre ça tranquilement, mais au moins je sais quoi faire en tombant sur ce type de question, je comprends mieux le truc.

    Merci beaucoup de votre aide et à bientôt.

    Kiki


  • Modérateurs

    D'accord pour c=0 et d=2

    Tu devrais recompter tes résultats pour a et b

    Sauf erreur (vérifie )

    $\left{2a+b=6\-a-b=-3\right$

    Cela donne donc a=3 et b=0

    mf=(3 0 0 2)m_f=\left( 3\ 0 \ 0\ 2\right)

    Fais attention à ta réponse :je crois que tu confonds la matrice et son déterminant.

    Bonnes révisions !



  • Effectivement je me suis un peu emballé, après avoir reposé tous mes systèmes étape par étape, je tombe bien sur a=3, b=0, c=0 et d=2 et du coup le matrice qui vient est bien la même que la votre et son déterminant 6 mais pas demandé...

    Merci beaucoup de la rectification et du soutien.

    Kiki


  • Modérateurs

    De rien ! c'était avec plaisir .


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