fonction définie par une intégrale

bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plaît
mon exercice se décrit comme ceci :

Sur l'intervalle ∫[0, + [ on définie la fonction h par :
h(x) = x en haut, 0 en bas e^-t^2 dt

a) dire pourquoi la fonction h est dérivable sur [0, + [.
b) dresser le tableau de variations de la fonction h, sachant que ∫ + en haut,0 en bas e^-t^2 dt= /2

j'ai vraiment besoin de votre aide, je vous en remercie d'avance

Je sais que h est la primitive de t→ $e^2$ qui s'annule en 0.

Bonjour,

Ton énoncé est vraiment mal écrit...j'espère avoir compris...pas sûr...

Je suppose que :

$h(x)=\bigint_0^xe^{-\frac{t}{2}}dt$

Soit $g(t)=e−t2g(t)=e^{-\frac{t}{2}}$

h est la primitive de g qui s'annule pour x=0

h est donc dérivable est sa dérivée est g

$h′(x)=g(x)=e−x2h'(x)=g(x)=e^{-\frac{x}{2}}$

Tu en déduis le signe de h' d'où le sens de varaition de h ( h strictement croissante )

Pour les limites :

$h (0) = 0$

$lim⁡x→+∞h(x)=2\lim_{x\to +\infty}h(x)=2$

Remarque :

avec les primitives usuelles , tu peux expliciter h(x) sans difficulté.

$h(x)=[−2e−t2]0x=−2e−x2+2h(x)=[-2e^{-\frac{t}{2}}]_0^x=-2e^{-\frac{x}{2}}+2$

oui vous avez entièrement raison même moi j'ai du mal a le lire
merci quand même pour l'aide c'est très gentil mais il faut que je dresse un tableau de variation de la fonction h, sachant que:

∫ $+∞^{+∞}$ 0 e $^{-t²}$ dt = √π/2

je ne comprend vraiment pas comment je dois faire

je pense que j'ai mal lu ...désolée.

Utilise le raisonnement que je t'ai indiqué mais modifie la fonction : j'ai lu t/2 au lieu de t²

$h(x)=\bigint_0^xe^{-t^2}dt$

$g(t)=e^{-t^2}$

h est la primitive de g qui s'annule pour x=0

h est donc dérivable est sa dérivée est g

$h'(x)=g(x)=e^{-x^2}$

h'(x) > 0 donc h strictement croissante

Pour les limites :

$h (0) = 0$

$\lim_{x\to +\infty}h(x)=\bigint_0^{+\infty} e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ( appellée intégrale de Gauss)

Tu as tout ce qu'il te faut pour le tableau de variation.

merci beaucoup c'est très gentil, bonne soirée et merci encore

De rien .

a+