Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal

salut à tous j ai un exercice que je ne comprend pas:
déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de A(1,1,4) sur le plan P d equation x-y+2z=2 puis calculer la distance de A à (P).

voici ce que j avais pensé: soit H le projeté et n un vecteur normal à (P) on a alors le vecteur AH et n colineaires donc leurs produit vectoriel est 0. mais lorsque je fais ça je trouve un systeme qui n a pas de solutions.

Bonjour,

Tu as déjà posé cette question et tu as eu une réponse ici ( question 3 )

http://www.mathforu.com/sujet-19148.html

As-tu compris la réponse ?

Il aurait fallu rester sur ton topic initial et demander un complément si besoin.

ok merci beaucoup avec l explication dans l autre topic j ai pu traité et avoir les coordonnees du projeté et j ai trouvé (1/2; -3/2; 0). j ai compris maintenant

Ta réponse me semble bizarre.

Vecteur normal à (P) :(1,-1,2)

La droite (D) passant par A et perpendiculaire à (P) a pour représentation paramétrique ( en appelant t le paramètre )

$\left{x=1+t\y=1-t\z=4+2t\right$

En substituant dans l'équation de (P) , sauf erreur , tu dois trouver t=-1

Le point H projeté de A sur (P) a pour coordonnées (0,2,2)

Vérifie les calculs.

Pour t'assurer que c'est exact , calcule la distance AH de A à (P) de deux façons différentes

$d=ah=(xh−xa)2+(yh−ya)2+(yh−ya)2d=ah=\sqrt{(x_h-x_a)^2+(y_h-y_a)^2+(y_h-y_a)^2}$

Prends directement la formule de ton cours qui donne la distance d'un point A à un plan (P) et vérifie que tu trouves pareil.

http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=91

oui tu as raison j ai etulisé la meme methode que vous mais j ai fait une erreur sur le calcul du parametre t.

Pour la distance AH , sauf erreur , tu dois trouver :

$d=ah=6d=ah=\sqrt 6$

Utilise les deux méthodes que je t'ai suggérées pour t'assurer que tu trouves bien la même réponse.

j ai essayé de calculer la distance AH des methotes que tu m a suggeré et je trouve racine de 6.
la 1ere methode j ai calculé et je trouve racine carré de 6
la 2ieme methode avec AH=|1-1+8-2|/racine carré de 1+1+4
AH=racine de 6

C'est tout bon !

OK. j ai une autre question:
on me demande maintenant de trouver les coordonnées du symetrique du meme point A(1, 1, 4) par rapport à la droite passant par B(0, 1, 0) et dirigé par le vecteur u(1, 1, 1).

voici ce que je voulais faire: je voulais chercher un vecteur w directeur de la droite (AA') ou A' est le symetrique de A. et ensuite dire que le vecteur AA' et w sont colineaire «=» leurs produit vectoriel donne 0 et enfin je trouve les coordonnees de A'. mais je ne sais pas comment trouver un vecteur directeur de la droite (AA').

Ta suggestion ne va pas aboutir car le produit vectoriel nul ne va pas te permettre de connaître la position exacte de A'

Une piste possible

Soit (Δ) la droite passant par B et de vecteur directeur u(1,1,1)

Soit (Q) le plan passant par A et perpendiculaire à (Δ)

Tu peux trouver une représentation paramétrique de (Δ) et une équation cartésienne de (Q)
En résolvant le système , tu peux trouver les coordonnées du point K intersection de (Δ) avec (Q)

K est le milieu de [AA'] : tu pourras obtenir les coordonnées de A'

la methode que vous avez proposé est une bonne methode et j ai trouvé A'(7/3, 13/3, -2/3) j ai meme calculé la distance BA et BA' et je trouve chacune racine carré de 17. Merci beaucoup

Parfait !

Bonne journée .