application sur les fonctions

[pierresimpore]

salut à tous j ai un exercice qui me fatigue. voici l enoncé:

1. l'application
   h:RR dans RR
   (x,y) associe(x+y;x-y) est elle injective, surjective, bigective
2. soit f:R dans R
   x associe sinx
   a) quelle est l image directe par sin de R? de [0, 2pi].

b)quelle est l image reciproque pas sinus de [0, 1]? de [1, 2]

Pour la premiere question je ne sais pas comment proceder
Pour la deuxieme question l image directe il faut calculer sinus de R et sinus de [0, 2pi] mais pour la question b je ne vois pas.

[mtschoon]

Bonjour,

Quelques pistes,

1. h est bien une application de RR dans RR vu que tout couple (x,y) a une image (x',y') dans R*R définie par x'=x+y et y'=x-y

Cherche les antécédents éventuels (x,y) de (x',y') par h

$\left{x+y=x'\x-y=y'\right$

En résolvant ce système , tu dois trouver :

$x=\frac{x^{\prime }+y^{\prime }}{2}$ et $y=\frac{x^{\prime }-y^{\prime }}{2}$

Tu en tires les conclusions sur h

2. a) les variations de sin étant connues , l'image directe de R aussi bien que de [0,2∏] est [-1,1]

3. b) Pour trouver l' image réciproque pas sinus de [0, 1] , je te conseille de faire le cercle trigonométrique , de surligner la partie [0,1] de l'axe des sinus et de visualiser de valeurs de x telles que sinx ∈ [0,1]

Pour trouver l'image réciproque pas sinus de [1, 2] , je te conseille de faire pareil.

Bien évidemment , sur ]1,2] il n'existe pas de x tel que sinx ∈ ]1,2]
Il te reste donc à chercher les valeurs de x telles que sinx=1

[pierresimpore]

pour la premiere question on constate que tout couple de l ensemble d arrivé possede un seul couple antecedent dans l ensemble de depart. donc h est injective, surjective donc bijective.

2)b) l image reciproque par sinus de [0,1] sont des reels x appartenant à [0, pi].
la resolution de
sinx=1 donne x=pi/2 +2kpi.

[mtschoon]

OK pour 1) et pour 2) sinx=1

Si tu travailles sur R , l'image réciproque , par sin , de [0,1] n'est pas seulement [0,∏] car la fonction sin est périodique de période 2∏ . Il faut indiquer tous les intervalles du type [2k∏, (2k+1)∏] , avec k ∈ Z

L'image réciproque peut s'écrire :

${\bigcup }_{k\in z}[2k\pi ,(2k+1)\pi ]$

[pierresimpore]

OK MERCI

[mtschoon]

De rien !

a+