geometrie dans le plan

Bonsoir j ai un autre exercice:
soit m un reel, on donne la droite (D)m d equation cartesienne (1-m )x+2my=4m+2.
Demontrer que ces droites sont toutes tangentes à un unique cercle que l on determinera le centre et le rayon.

ce que je voulais faire c est de chercher une representation parametrique de la droite Dm et ensuite resoudre un systeme composé de l equation cartesienne du cercle et la representation pour pouvoir trouver le point de concour des droite et le cercle mais je trouve trop d inconnus.

Bonsoir,

Il est bien bizarre ton énoncé ...

Toutes les droites passent par le point (2,3) ; elle ne peuvent pas être toutes tangentes à un même cercle.

N'as-tu pas oublié un carré quelque part ?

bonsoir excuse moi j ai fait une erreur sur l equation de la droite Dm c est plutot
(1-m^2)x+2my=4m+2

Avec cette modification , ton exercice devient "normal" .

Un piste possible en utilisant la formule de la distance d'un point à une droite ( dans le plan) :

Soit A(x0,y0) le centre du cercle cherché et soit R son rayon.

Pour tout m de R : d(A,(Dm))=R

En explicitant cette relation et avec quelques lignes de transformations , tu dois trouver x0 , y0 et R.

Reposte si besoin.

Bonsoir je suis bloqué je ne sais plus quoi faire
d(A, Dm)=|X0(1-m^2)+2mY0-4m-2|/1+m^2 ensuite on a

|X0(1-m^2)+2mY0-4m-2|=R(1+m^2) il ya trop de variable donc je ne sais quoi faire. lorsque j ecris sans la valeur absolue ca ne mene nul part.

Ton début est bon. Il faut continuer.

Pour te "débarasser" de la valeur absolue , tu peut poser $ϵ=±1\epsilon=\pm 1$

Ainsi , ton égalité s'écrit : $x0(1−m2)+2my0−4m−2=ϵr(1+m2)x_0(1-m^2)+2my_0-4m-2=\epsilon r(1+m^2)$

Tu transposes le tout dans le membre de gauche , tu développes , tu regroupes les termes pour avoir une égalité de la forme $am^2+bm+c=0$

Vu que cette égalité doit être vraie pour tout m réel , tu as un polynome identiquement nul donc necéssairement tous les coefficients sont nuls : A=0 , B=0 , C=0.

Tu pourras obtenir ainsi les valeurs souhaitées.

Bonjour peut etre que j ai fait une erreur mais je trouve des valeurs bizzares
R=-1 ce qui est bizzare
X0=1 et Y0=2

Sans connaître tes transformations , je ne peux pas voir où est l'erreur...

Tu devrais avoir le système :

$\left{-x_0-\epsilon r=0\2y_0-4=0\x_0-2-\epsilon r=0\right$

$y_0=2$ ( c'est ce que tu as trouvé )

En ajoutant membre à la première et la troisième équation et en transformant : $r=−1ϵr=-\frac{1}{\epsilon}$

Vu que R >0 , nécessairement $ϵ=−1\epsilon=-1$ , $r = 1$

En subsituant dans la 1ere ou 3eme équation , tu dois trouver $x_0=1$

Vérifie, bien sûr.

j avais utilisé la propriété de la valeur absolue
|a|=b «=»{a=b ou a=-b. maintenant si j utilise a=-b je trouve R=1, X0=1 et Y0=2
mais si j ulitise a=b je trouve R=-1 , X0=1 et Y0=2.

Or il fallait plutot ercire:

(1-m^2)X0+2mY0-4m-2=€R(1+m^2) avec ça on trouve evidemment X0=1, Y0=2 et R=-1/€

Ta démarche était bonne : le cas R=-1 était à supprimer vu que R doit être positif et le cas R=1 était à conserver.

L'avantage de prendre $ϵ=±1\epsilon=\pm 1$ est seulement d'éviter de faire les deux cas séparément

OK merci

De rien.

a+

j ai un autre exercice dont l enoncé est
1)soient A, B, C, D quatre points. montrer la relation d'Euler:
AB.CD+AC.DB+AD.BC=0. AB, CD,AC,DB,AD et BC sont des vecteurs.

2)soit ABC un triangle non aplati. deduire de la relation d'Euler que les trois hauteurs de ABC sont concourantes.

pour la premiere question j ai pu demontré j ai essayé d introduire le point c dans chaque premier vecteur ainsi on a:
(AC+CB).CD+AC.(DC+CB)+(AC+CD). BC maintenant en developpant et en factorisant par le vecteur AC et le vecteur CD, on trouve la somme =0.
mais la deuxieme question je ne sais pas comment utiliser la relation d Euler.

Bonjour,

Tu as fait le plus gros de l'exercice !

Pour la 2) , tu n'as rien à démontrer ; il suffit de tirer les conclusions.

Dans le triangle ABC , appelle D l'intersection de 2 hauteurs.

Par exemple :

hauteur issue de A , donc perpendiculaire à (BC) donc
$ad⃗.bc⃗=0\vec{ad}.\vec{bc}=0$

hauteur issue de B , donc perpendiculaire à (AC) donc
$ac⃗.db⃗=0\vec{ac}.\vec{db}=0$

Le relation d'Euler permet ainsi d'écrire :

$ab⃗.cd⃗+0+0=0\vec{ab}.\vec{cd}+0+0=0$

Donc : $ab⃗.cd⃗=0\vec{ab}.\vec{cd}=0$

Donc vecteurs $ab⃗\vec{ab}$ et $cd⃗\vec{cd}$ orthogonaux

Donc (CD) est la 3eme hauteur du triangle

Donc les 3 hauteurs sont concourantes ( en D ) .

Remarque : pense à ouvrir une nouvelle discussion lorsque tu changes d'exercice.

d accord merci encore.