3. Calculs de limites avec ln, exp et fonctions trigonométriques

Calculs de limites avec ln, exp et fonctions trigonométriques

  • P

    j ai un TD sur les calculs de limites un peu bizarre:
    1)lim(a^x-b^x)/x
    x-»0 a et b positif

    2)lim(e^x-cosx-sinx)/x^2
    x-»0

    3)lim(lnx)^a/x^b
    x-»+inf. a et b positif.

    4)lim(cosx-cos5x)/(sin-sin5x)
    x-»pi/2

    5)lim[1/(sinx)^2-1/x^2]
    x-»0.

    pour la premiere limite j ai voulu utilisé le therome d hospital. ainsi lorsque je derive le numerateur et le denominateur j obtient:
    lna e^xlna-lnb e^xlnb. donc la limite donnera lna-lnb. Mais chez nous on nous autorise pas à utiliser ce theoreme donc il faut un autre methode.

    2)j ai essayé l expression conjuguee du numerateur mais en vain.
    3)j ai essayé de calculer suivant des cas:
    si a=b la limite donnera 0. si a>b c est bizzare

    Les restes sont un peu flouent dans ma tete. Merci d avance

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques pistes de travail ,

    1. Tu peux utiliser la définition de nombre dérivé

    f(x)=ax−bxf(x)=a^x-b^xf(x)=ax−bx

    f(0)=a0−b0=1−1=0f(0)=a^0-b^0=1-1=0f(0)=a0−b0=1−1=0

    La limite cherchée peut s'écrire :lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)limx→0​x−0f(x)−f(0)​=f′(0)

    Tu calcules f'(x) , tu en déduis f'(0) et tu obtiens la réponse que tu proposes

    1. Tu peux chercher le DL d'ordre 2 du numérateur ( tu dois trouver x² )

    x²/x²=1 . la limite cherchée sera 1

    1. Tu peux transformer le fonction

    $\frac{(lnx)^a}{x^b}=(\frac{lnx}{x})^a\times\frac{1}{x^{b-a}$

    1. Tu peux utiliser les formules usuelles pour simplifier :

    cosp−cosq=−2sin⁡p+q2sin⁡p−q2cosp-cosq=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}cosp−cosq=−2sin2p+q​sin2p−q​
    sinp−sinq=2sin⁡p−q2cos⁡p+q2sinp-sinq=2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}sinp−sinq=2sin2p−q​cos2p+q​

    1. Tu peux tranformer la fonction

    1sin2x−1x2=x2−sin2xsin2x×x2\frac{1}{sin^2x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-sin^2x}{sin^2x\times x^2}sin2x1​−x21​=sin2x×x2x2−sin2x​

    prends ensuite le DL d'ordre 4 de sin² x

    Bonnes limites !

    Reposte si besoin.

    P 1 réponse
  • P

    pour la 1ere limite j ai compris.
    pour le 2) et 5) que signifie DL?

    3)pour la troisieme limite si a<b la limite donnera 0. mais si a>b on obtiendra une forme indéterminée(0*infini)

    1. pour la 4ieme limite apres simplification on obtient 0.
    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    DL est l'abréviation usuelle de "développement limité"...j'aurais dû le préciser.

    OK pour ta réponse à la 3) pour a < b avec la transformation que je t'ai proposé.

    Pour a > b , je te suggère de faire le changement de variable X=lnx

    ( après transformations et utilisation des limites comparées , tu dois trouver 0)

    Pour la 4) , donne tes calculs . je reste perplexe sur ta réponse...

    P 1 réponse
  • P

    1. a>b on pose donc X=lnx-» x=e^X
      on aura donc
      lim X^a/e^bX=0
      X->+inf

    4)cosx-cos5x=-2sin3xsin(-2x)
    sinx-sin5x=2cos3xsin(-2x)
    ensuite on simplifie par 2sin(-2x) et on obtient finalement
    lim-sin3x/cos3x=0
    x->0.

    pour la deuxieme et la 5ieme limite j ai entendu parlé de developpement limité mais je n ai pas encore fait le cours sur cette notion, donc je ne sais pas quoi faire.

    P 1 réponse
  • P

    je me suis trompé sur la 4ieme limite.
    x->pi/2 au lieu de
    x->0. donc on a

    lim -sin3x/cos3x
    x->pi/2. en posant X=3x on obtient

    lim sin(-X)/cosX
    X->-pi/2. je pense qu il faut se referer au cercle trigonometrique. je ne sais plus quoi faire.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Pour la 4) , je te conseille d'utiliser la tangente.

    −sin3xcos3x=−tan3x\frac{-sin3x}{cos3x}=-tan3xcos3x−sin3x​=−tan3x

    Ensuite , tu utilises le cercle trigonométrique .

    Lorsque x tend vers (π/2)+/2)^+/2)+, 3x tend vers (3π/2)+/2)^+/2)+ , tan3x tend vers -∞ donc

    - tan3x tend vers +∞

    Lorsque x tend vers (π/2)−/2)^-/2)− , 3x tend vers (3π/2)−/2)^-/2)− , tan3x tend vers +∞ donc

    - tan3x tend vers -∞

    Je te donne les résultats à trouver pour la 2) et la 5) :

    Pour la 2) , la limite est 1
    Pour la 5) ,la limite est 1/3

    Pour les démonstrations , j'ignore ce que dit ton cours...en principe , les développements limités se font en première année d'enseignement supérieur mais...ça dépend peut-être des séries...
    La 5) peut se faire avec la règle de l'Hôpital mais il faut faire des transformations trigonométriques assez compliquées et tu as indiqué que tu ne devais pas t'en servir...

    Regarde dans ton cours les propriétés que tu peux utiliser.

    A tout hasard , je te joins un formulaire sur les développements limités au voisinage de 0 (page 1 ) :

    http://www.h-k.fr/publications/data/adc.ps__annexes.maths.pdf

    P 1 réponse
  • P

    Merci pour le formulaire je vais y jeter un coup d oeil. je suis en 1ere annee de serie scientifique mais on a pas encore commencé le cours sur les developpements limité.

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