Déterminer l équation de la perpendiculaire commune aux droites

bonsoir à tous j ai un exercice sur la geometrie dans l espace dont l enoncé est le suivant:
Déterminer l equation de la perpendiculaire commune aux droites (D) et (D') d equations respectives{ x+y-3z+4=0, 2x-z+1=0. et
{x=z-1, y=z-1.
Je n ai pas de piste.

Bonjour Pierre.

Peux-tu me donner un vecteur directeur pour chacune de tes droites ?

Bonjour Ostap_Bender pour la droite (D) soit n(1, 1, -3) un vecteur normal de la premiere equation du systeme et n'(2, 0, -1) le vecteur normal de la 2ieme equation du systeme ensuite soit u le vecteur directeur de la droite (D) u=n/\ n' donc
u(1, 5,2).
de meme pour la droite(D') On aura le vecteur directeur u'(1, 1, 1)

Ok.

Maintenant j'aimerais un vecteur qui soit orthogonal à ces deux droites.

Que peut-on dire de ce vecteur ?

Pour avoir un vecteur normal à ces deux vecteurs on a:

w=u/\u'
w(3, 1, -4) ce vecteur doit etre un vecteur directeur de la perpendiculaire aux deux droites.

Maintenant si tu considères ton vecteur v vertical, alors les plans normaux à v seront horizontaux. Par exemple tes deux droites (D) et (D') seront contenues dans des plans horizontaux.

Ce que tu vas faire maintenant, c'est projeter ces deux droites (D) et (D') sur le plan horizontal $3 x + y - 4 z = 0$ .

je ne comprend pas bien comment projeter les deux droites sur le plan?

Une droite est déterminée par deux points. Il te suffit de projeter $2×22\times2$ points sur le plan.

Donc si je veux bien comprendre je dois chercher deux points des deux droites et ces deux points appartiendraient au plan horizontal?

Non tu dois prendre deux points de chaque droite, et ces quatre points tu dois les projeter sur le plan horizontal $3 x + y - 4 z = 0$ .

j ai trouvé deux points A(0, -1, 1) et B(1, 4, 3) qui appartiennent à la droite (D) et A'(1, 1, 2), B'(2, 2, 3) qui appartiennent à la droite (D'). est ce que je dois trouver les coordonnees des projetés des 4 points sur le plans horizontal? si oui là je ne sais pas quoi faire.

Pour A : Tout se passe en vectoriel. Autrement dit tu projettes le vecteur $oa⃗\vec{oa}$ sur le plan vectoriel $3 x + y - 4 z = 0$ .

Pour cela, tu commences par calculer le produit scalaire $oa⃗⋅w⃗\vec{oa}\cdot\vec w$ .

Qu'obtiens-tu ?

le produit scalaire du vecteur OA avec W est:
OA.W=0-1-4
OA.W=-5

Peux-tu en déduire la composante du vecteur $oa⃗\vec{oa}$
sur le vecteur $w⃗\vec w$ ?

je ne sais pas comment trouver la composante du vecteur OA sur le vecteur W. En fait je ne comprend pas bien la question

C'est plus une question de physique que de mathématiques. La composante du vecteur $oa⃗\vec{oa}$ sur le vecteur $w⃗\vec w$ est le vecteur $k⃗=oa⃗⋅w⃗∣∣w∣∣w⃗\vec k = \frac{ \vec{oa}\cdot\vec w}{|| w || } \vec w$ . De ce fait $oa⃗=k⃗+n⃗\vec{oa} = \vec k + \vec n$ , avec $k⃗⋅n⃗=0\vec k\cdot \vec n = 0$ .

Tu obtiens ainsi ta projection orthogonale de A.

si j ai bien calculé je trouve le vecteur:

k=-5/racin26 w
Donc le vecteur
k(-15/racin26, -5/racin26, -20/racin26).
si vous confirmez que c est ça je vais faire maintenant pour les autres points.

si j ai bien calculé je trouve le vecteur:

k=-5/racin26 w
Donc le vecteur
k(-15/racin26, -5/racin26, -20/racin26).
si vous confirmez que c est ça je vais faire maintenant pour les autres points.

Bon, je vois que je me suis emmêlé les crayons : Les racines sont intempestives, non ?
$k⃗=oa⃗⋅w⃗∣∣w⃗∣∣2w⃗\vec k = \frac{ \vec{oa}\cdot\vec w}{|| \vec w ||^2 } \vec w$ . Cette fois l'écriture est homogène au sens physique.
Ce qui donne $k⃗=(−1526;−526,−2026)\vec k = (\frac{ -15}{26}; \frac{ -5}{26},\frac{ -20}{26})$ .
Le point $a^{'}$ défini par $oa′⃗=oa⃗−k⃗\vec{oa'} = \vec{oa} - \vec k$ est du coup la projection orthogonale de $a$ sur le plan vectoriel $3 x + y - 4 z = 0$ .

excuse moi beaucoup pour le retard. bom on a donc le projeté orthogonal du point A sur le plan orthogonal que je vais appeler A1 est tel que comme tu l a dis
le vecteur
OA1=OA-k
OA1(15/26, -21/26, 23/13) apres verification je vais poster les coordonnees des projetes des autres points.

Pas de problème pour moi. C'est ton exercice.

Tu dois vérifier que les coordonnées du point $a_1$ vérifient bien l'équation du plan $3 x + y - 4 z$ et ce n'est pas le cas d'après ce que tu as posté.

c est vrai le point A1 n est pas au plan horizontal. j ai verifié mes calcules je pense que je n ai pas fait d erreur de calcul

Regarde la troisième coordonnée à tout hasard.

c est exacte la troisieme coordonnee est fausse on trouve
A1(15/26, -21/26, 46/26) mais malgré ça le point A1 n appartient pas au plan horizontal