Extremum local, recherche de points critiques

[seahawker]

g(x,y)= exp(x) (x+y²+exp(x) )

4. Déterminer le seul point critique de g, càd le seul coupe de R², en lequel g est susceptible de présenter un extremum.

J'ai dérivé partiellement :

g'x(x,y)= exp(x) (x+y²+exp(x)) + exp(x) (1+exp(x))
g'y(x,y)= exp(x) (2y)
Est-ce juste? Je me pose cette question car la reprise est un peu dure et j'ai du mal à résoudre le système composé de ses dérivées. y=o et x=...?
La suite de l'exercice invite a déterminer la nature de ce point ( dérivées seconde ).

[mtschoon]

Bonjour,

Tes calculs me semblent justes

Tu peux réduire un peu g'${}_x$(x,y)

$g_x^{\prime }(x,y)=e^x(2e^x+y^2+x+1)$

Pour y=0 , tu dois résoudre $2e^x+x+1=0$

La résolution algébrique pose problème , mais en étudiant les variations de $x-> \ 2e^x+x+1$ sur R , et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires ( cas de la bijection ) tu peux prouver l'existence et l'unicité d'une seule valeurs α telle que $2e^{\alpha }+\alpha +1=0$

A la calculette : -1.5 < α < -1.4

[seahawker]

Merci beaucoup pour ton aide.

[mtschoon]

De rien.
A+