les applications

Bonsoir à tous j ai un exercice dont l enoncé est:
A) soit f:R vers R definie par
f(x)=x/(1+x^2)

f est elle injective? surjective?
montrer que f(R)=[-1/2 , 1/2]
3)Montrer que la restruction g:[-1/2,1/2] vers[-1/2, 1/2], g(x)=f(x) est une bijection.
4)determiner alors la bijection reciproque de g.
B)
soit f une application involutive de A dans A c est à dire que l on a f¤f=IdA.
Montrer qu alors f est bijective et f-1=f
2)soit f:[0, 1] vers [0, 1] l application definie par
f(x)={x si x est rationnel et 1-x sinon
Demontrer que f est une application involutive.
je n arrive pas à traiter ces questions.

Bonjour,
A), 1) :
Calcule f(2) et f(1/2) : conclusion ?

on a f(2)=2/5 f(1/5)=2/5 donc 2/5 a deux antecedent donc f n est pas injective. j ai constaté egalement que si j essaie de resoudre l equation f(x)=1 c est à dire x/(1+x^2)=1 on a pas de solution donc 1 n a pas d antecedent par f. en conclusion f n est pas surjective.
2) pour montrer que f(R)=[-1/2, 1/2] j ai essayé d etudier la fonction f.
f'(x)=(1-x^2)/(1+x^2)^2
donc f(R) est le minimum et le maximun de f puisque f est monotone sur R. le minimum est -1/2 et le maximum est 1/2
3) sur [-1/2, 1/2] f est strictement croissante donc elle realise une bijection de [-1/2, 1/2] vers f([-1/2, 1/2])=[-5/2, 5/2] or [-1/2, 1/2] appartient à [-5/2, 5/2] donc on tire la conclusion.
4) je ne sait pas comment je vais calculer la bijection reciproque de g.

Citation
puisque f est monotone sur Rf n'est pas monotone sur R : seulement sur [-1/2 ; +1/2]
Citation
sur [-1/2, 1/2] f est strictement croissante donc elle realise une bijectionNon : il faut également que f soit continue, ce qui est heureusement le cas.
Citation
vers f([-1/2, 1/2])=[-5/2, 5/2]Non : sauf erreur de ma part, c'est [-2/5 ; +2/5]
Citation
or [-1/2, 1/2] appartient à [-5/2, 5/2] donc on tire la conclusion.Non : Compte tenu de l'erreur précédente, c'est [-2/5 ; +2/5] qui est inclus dans [-1/2, 1/2]. Malheureusement, cela ne change pas le fait que la conclusion est fausse : prends 3/7 (qui est dans [-1/2, 1/2], et cherche ses antécédents par g : sauf erreur de ma part, ils ne sont pas dans [-1/2, 1/2].
Si cela s'avère exact, c'est l'énoncé de la question 3 qui est incorrect : vérifie.

Oui vous avez raison, les antecedents de 3/7 sont à peu pres 0,8 et 1,4. donc l enoncé de la question 3 est incorect. mais j ai verifié dans le livre c est ce qui est ecrit. surement ils se sont trompés.
Mais et la question 4.

En fait (à vérifier), f([-1 ; +1]) = [-1/2 ; +1/2]
Ou bien f([-1/2 ; +1/2]) = [-2/5 ; +2/5]
Au choix ...
Si on choisit le premier résultat comme énoncé, on doit établir que la restriction g de f à [-1 ; +1] est une bijection de [-1 ; +1] sur
[-1/2 ; +1/2].
Pour cela, le tableau de variation suffit ( en précisant que f donc g est strictement monotone et continue sur cet intervalle).
Pour la réciproque, il suffit de résoudre l'équation g(x) = a où
a ∈[-1/2 ; +1/2].
Attention : on obtient une équation du second degré admettant 2 racines : il faut bien préciser, selon la valeur de a, celle que l'on choisit.

donc lorsqu on resoud l equation f(x)=a on obtient
ax^2-x+a=0 je trouve le discriminant
1-4a^2. pour tout a element de [-1/2, 1/2] le discriminant est positif. Donc
a1=[1-racine(1-4a^2)]/2a.

a2=[1+racine(1-4a^2)]/2a.
les solutions doivent appartenir à [-1, 1] mais je trouve que pour tout a appartenant à [-1/2, 1/2] a1 est inferieur ou egal à 1 et a2 est superieur ou egal à -1 donc je ne sais qui choisir.

Tu cherches x dans [-1 ; +1], donc tu dois choisir a1 lorsque a > 0 .
Sans connaître a, tu sais que le produit des racines vaut 1, donc les racines sont inverses ( et de même signe) : si elles sont positives ( a > 0 ) l'une est plus petite que 1 l'autre plus grande.
C'est évidemment la plus petite (ici a1 ) qui est plus petite que 1.
Raisonnement analogue si a < 0 ( tu peux utiliser le fait que la fonction est impaire).
Traite à part le cas a = 0 .

si je veux bien comprendre je dois resoudre l equation a1=0, et a2=0

si je veux bien comprendre je dois resoudre l equation a1=0, et a2=0

Non, pas du tout.
a1 et a2 sont des nombres fixés (qui dépendent de a) et ton problème consiste à choisir entre les deux.
Je résume :
g est une bijection de [-1 ; +1] sur [-1/2 ; +1/2]
A tout nombre x de [-1 ; +1] est associée une image g(x) dans [-1/2 ; +1/2]
Réciproquement, à tout nombre a (on aurait pu lui donner un autre nom) de
[-1/2 ; +1/2] est associé un antécédent unique dans [-1 ; +1]. La façon d'obtenir cet antécédent définit la bijection réciproque $g^{-1}$ .

Je te propose de traiter cela d'abord sur des exemples numériques.
a) a = 0 : quel est l'antécédent de 0 ?
b) a = +1/3 (qui est bien dans [-1/2 ; +1/2]) : quel est son antécédent ? Assure-toi qu'il est bien dans [-1 ; +1].
c) a = -1/3 : même question.

excuser moi si j ai tardé. Donc pour
a=1/3, on a à peu pres a1=0,38 et a2=2,62. On constate que c est a1 qui appartient à [-1, 1].
pour a=-1/3, a1=-0,38 et a2=-2/3. et a1appartient à [-1, 1] Donc la bijection reciproque sera
[1-racin(1-4a^2)]/2a.

Exact.
Mais il faut démontrer que c'est bien valable pour tout a de [-1/2 ; +1/2] et pas seulement pour l'exemple numérique choisi.
Attention à la rédaction : la bijection réciproque (de g) n'est pas le nombre(1-√(1-4a²)/2a : c'est l'application de [-1/2 ; +1/2] sur [-1 ; 1] qui à tout nombre a fait correspondre $g^{-1}$ (a) = (1-√(1-4a²)/2a

merci pour la correction de ma redactiom, mais comment je dois montrer que c est bien valable pour tout a appartenant à [-1/2, 1/2].

Soit a ∈ [-1/2 ; +1/2]
Donc 1 - 4a² ≥ 0 .
Par suite l'équation ax² - x + a = 0 admet 2 racines lorsque a ≠ 0.
Donc on commence par étudier à part le cas a = 0 :
l'équation devient -x = 0 qui admet 0 pour unique solution.
Si a ≠ 0 : le produit des racines vaut a/a = 1. Les deux racines sont donc de même signe et inverses l'une de l'autre.
Ce sont ce que tu as noté a1 et a2.
Cas a > 0 : leur somme vaut 1/a qui est positif, les deux racines (de même signe) sont donc positives.
Étant inverses, l'une est supérieure à 1 et l'autre inférieure à 1.
C'est donc la plus petite (celle que tu as noté a1), qui est dans l'intervalle souhaité et qu'il faut garder.
Cas a < 0 : leur somme vaut 1/a qui est ..., les deux racines (de même signe) sont donc ...
Étant inverses, l'une est supérieure à ... et l'autre ...
C'est donc ...

Pour le cas a<0, leur somme vaut 1/a qui est negative. les deux racines de meme signe est donc negatif. etant inverse l une est superieur à -1 et l autre inferieur à -1 c est donc celui qui est superieur à -1 qui est dans l intervalle souhaité. ce qui correspond à a1. est exact

Bien sûr, mais avec pas mal de fautes de français ...

merci beaucoup prochainement je ferai moins de faute. maintenant il reste la partie B.

Pour la question 1, démontre que f est injective et surjective par simple application des définitions.

f est une application de A vers A. tout element de A a au plus un antecdent dans A et de meme tout element de A a aussi au moins un antecedent dans A donc f est injective et surjective donc bijective.
mais est ce qu on ne peut pas demontrer directement en disant que f est une application de A vers A. l ensemble de depart A est inclus l ensemble d arriver A et reciproquement donc tout element de A a un et un seul antecedent dans l ensemble de depart A.

Tes raisonnements sont faux et tu affirmes sans rien démontrer.
Le fait que l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée sont identiques n'a rien à voir avec les bijections.
Reviens aux définitions.
f de A vers B (ici B=A) est injective si pour tout élément x et pour tout élément x' de A : f(x) = f(x') ⇒ x = x' : c'est cela qu'il faut démontrer.
Soit donc x et x' dans A.
Je suppose que f(x) = f(x').
Mais je vais appliquer maintenant le fait que f est involutive : à toi.

donc on a x et x' de A f(x)=f(x') on a
f°f(x)=f°f(x') puisque f est involutive donc x=x'.

Citation
f°f(x)=f°f(x') puisque f est involutive donc x=x'.Ta rédaction n'est pas claire.
f(x)=f(x') donc, dans tous les cas : f°f(x)=f°f(x')
Et, puisque f est involutive, cela donne x = x'.
f est donc injective.

Maintenant, démontre que f est surjective : soit y un élément de B (ici donc de A), tu dois trouver un élément x de A tel que f(x) = y.
Ce n'est pas difficile.

donc il faut demontrer que si y appartient A il existe un x appartenant à A tel que y=f(x).
soit y appartenant à A, On sait que f(A)=A donc y appartient f(A) ce qui implique qu il x element de A tel que y=f(x). donc f est surjective.

Citation
On sait que f(A)=AJustement non, on ne le sait pas : c'est précisément ce qu'il faut démontrer.
On a seulement f(A) ⊂ A. Il semble que tu confondes ici image (de A par f) avec ensemble d'arrivée.

Soit y ∈ A.

Fabrique x de A tel que f(x) = y.
C'est facile : tu n'as pas beaucoup de possibilités pour choisir x.

y appartient à l ensemble d arriver A, soit x appartenant à l ensemble de depart A Donc f(x) appartient à f(A), je ne sais plus quoi faire ici

Citation
Soit y ∈ A.
Fabrique x de A tel que f(x) = y.
C'est facile : tu n'as pas beaucoup de possibilités pour choisir x.

Soit donc y ∈ A.
Quel pourrait bien être x ?
facile : soit x = f(y). A-t-on f(x) = y ?
Voyons cela :
f(x) = f[f(y)] = y puisque f est involutive.
Et c'est tout : pour chaque y de A on a trouvé x tel que f(x) = y : l'application est surjective.
Comme je te l'avais conseillé dans un précédent message, il suffit d'appliquer les définitions.

Ok j ai compris un peu. mais ce que je n arrive pas à comprendre est que vous avez dit:
y appartient à A( ensemble d arriver) soit x=f(y) comment? puisque y appartient à l ensemble d arriver et on sait que x doit appartenir à l ensemble de depart. comment est ce que f(y) peut appartenir à l ensemble de depart. Expliquez moi un peu cette partie.

C'est tout simplement parce que l'ensemble de départ est le même que l'ensemble d'arrivée. Cela permet de parler de f(y), mais aussi de f(f(x)) (où x = f(y) ).
x et y appartiennent à A, considéré tantôt comme ensemble de départ et tantôt comme ensemble d'arrivée.

j ai compris maintenant.
Pour la question
B)2)pour demontrer que f est involutive selon moi je dois montrer que soit f est bijection ou soit
f°f=Id. est ce exact?

Tu n'as pas le choix : on vient de voir que toute application involutive est bijective, mais bien évidemment toute bijection n'est pas forcément involutive !
Tu dois donc démontrer que $f_°$ f = $id_{[0 ; 1]}$ .
Pour cela je te suggère de séparer deux cas :

si x est rationnel, alors f(x) = ...., donc f[f(x)] = ...
si x est irrationnel, ...

si f est rationnel on a f(x)=x donc
f°f(x)=x.
sinon f(x)=1-x donc
f°f(x)=(1-x)°(1-x)
f°f(x)=x Donc f est involutive

Citation
si f est rationnelTu veux dire "x", pas "f" ?
Une fois de plus tu ne justifies rien.
De plus, la notation (1-x)°(1-x) ne veut rien dire.

Si x est rationnel, alors selon la définition de f, f(x) = x.

Ce résultat est donc rationnel, et donc son image lui est égale : f[f(x)] = x.

Si x est irrationnel, alors selon la définition de f, f(x) = 1- x

Or x étant irrationnel, 1 - x l'est aussi. On obtient donc son image en le retirant de 1 :
f[f(x)] = 1 - (1 - x) = x. (
et pas (1-x)°(1-x))

D'où le résultat.
J'ai mis en gras les justifications importantes qui manquaient.

je voulais dire "x rationnel pas f desolé" ok j ai comris, il semble que j ai un probleme avec les justifications. je traivaillerai encore plus sur les demonstrations. Merci beaucoup pour tout. et à bientot.

Bon courage.