Traduire un problème sous forme de suites et le résoudre

Bonjour a tous.

Voila j'ai un DM a rendre en maths pour Mercredi prochain. Le probléme c'est quand maths j'ai de trés grosses difficultés, enfin ça dépend des notions.
La trés clairement j'ai 2 exercices, un ou je m'en sort bien il s'agit de suite arithmétique et géométrique. Le probléme c'est l'exercice d'aprés...

En effet, a part la 1ére question qui est simple j'ai assez de mal avec le reste, même pire je n'y comprend rien, cet exercice est trés dur, ou du moins il me parait trés dur.
J'ai espoir que quelqu'un ici puisse m'aider ne serait est-ce que pour m'expliquer le raisonnement, je vous avou que la j'ai déja passé pas mal de temps sur ce sujet, or j'ai beaucoup d'autres travaux a faire a la maison ainsi que de nombreuses révisions et fiches a faire...

Voici l'énoncé ainsi que les questions en rapport :

Lors d'un jeu, Marc doit répondre a la question suivante : "Le premier jour, nous vous offrons 100 euros puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5% de plus que la veille et une somme fixe de 20 euros.
Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 euros ?"

Avant tout je ne comprend pas le "nous vous offrons 5% de plus que la veille". J'ai un doute cela veux dire qu'au Jour 1 il lui donne 100, et au Jour 2 100 + 5% de 100, soit 100 X 1,05, et au jour 3 105 X 1,05 ?

Voici maintenant les questions :

-Calculer U2. Pour celle-la pas de soucis, question simple et basique.

-Justifiez que, pour tout entier naturel n non nul,
Un+1 = 1,05Un + 20.
Pour cette question je comprend la logique, mais a vrai dire je n'est aucune idée de comment justifier cela...

Ensuite l'énoncé dit :
Pour tout entier naturel n non nul, on pose Vn = Un + 400

-Calculer V1. La je ne suis pas sur, mais en toute logique il suffirait de prendre U1 100 et de rajouter 400 non ? En gros, Vn = 100 + 400 = 500 ?

-Démontrer que la suite (Vn) est une suite géomatrique et precisez sa raison.
J'expose mon idée :

Vn = Un + 400 Un = 1,05 Un-1 + 100 ? Donc;
Vn = 1,05 Un-1 + 500 ?
La j'ai vraiment de trés gros doutes sur mon raisonnement....
Pour la raison même en cherchant, je n'est rien trouvé.

Pour la suite de l'exercice je m'en sort déja mieux, et je pense que de l'aide pour les questions précédentes est déja trés bien et suffisant.

Merci a vous de m'aider, bonne journée.

Bonjour,

Quelques pistes ,

Si j'ai bien compris , n ≥ 1

$\text{U_1=100$

Pour n ≥ 1 , $\text{U_{n+1}=U_n+5%U_n+20$

En transformant :

$\text{U_{n+1}=U_n+0.05U_n+20$

En factorisant :

$\text{U_{n+1}=U_n(1+0.05)+20$

$\text{U_{n+1}=1.05U_n+20$

Pour (Vn)

OK pour V1

Piste pour démontrer que (Vn) est géométrique :

$\text{V_{n+1}=U_{n+1}+400=1.05U_n+20+400=1.05U_n+420$

Il te reste à remplacer $\text{U_n$ par $\text{V_n-400$ et terminer le calcul.

Tu dois trouver :

$\text{ V_{n+1}=1.05V_n$, d'où la réponse.

Merci de votre aide utile, j'ai fini le calcule en question, il me reste une question :

-Exprimez Vn en fonction n puis en déduire que Un = 500 X 1,05 n-1 - 400.

Je vais réflechir a cette question demain avec des amis, si je trouve je viens vous le dire, merci.

Si tu est arrivé à démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 1.05 , le travail est presque fini.

Tu connais$\text{U_1=100$ , tu en déduis $\text{V_1$ puis tu appliques la formule de ton cours donnant l'expression de $\text{V_n$ en fonction de n

Ensuite , vu que $\text{U_n=V_n-400$ , tu déduis l'expression de $\text{U_n$ en fonction de n