calculs de sommes


  • E

    1. en développant (1+k)² pour k, entier compris entre 1 et n , déterminer la somme des n premiers entiers. Et de même, en développant (1+k)^3 et (1+k)^4, dénterminer la sommes des n premiers carrés et cubes .

    J'ai fait :
    (1+1)²=4
    (1+n)²=1²+2n+n²
    En sommant on a :
    n=((1+n)²-(n²+1))/2

    Est-ce que c'est juste pour l'instant ?


  • mtschoon

    BONJOUR !

    Je n'ai pas bien compris ta méthode .

    Je te fais la première sommes1=1+2+3+...+ns_1=1+2+3+...+ns1=1+2+3+...+n

    (k+1)2=k2+2k+1(k+1)^2=k^2+2k+1(k+1)2=k2+2k+1

    Donc :

    (k+1)2−k2=2k+1(k+1)^2-k^2=2k+1(k+1)2k2=2k+1

    k variant de 1 à n , tu obtiens :

    $\left{(2)^2-1^2=2(1)+1\(3)^2-2^2=2(2)+1\...\...\(n+1)^2-n^2=2(n)+1\right$

    En sommant , presque tous les termes de gauche s'annulent .

    Il reste :

    (n+1)2−1=2s1+n(n+1)^2-1=2s_1+n(n+1)21=2s1+n

    Tu isoles S1S_1S1 et après transformation , tu obtiens la formule usuelle :

    s1=n2+n2=n(n+1)2s_1=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}s1=2n2+n=2n(n+1)

    Applique la même démarche pour les autre sommes.


  • E

    J'ai pas compris l'étape << En sommant , presque tous les termes de gauche s'annulent >> Peux-tu me l'expliquer stp ?
    Merci d'avance


  • mtschoon

    Je t'ai écris le système des n égalités utiles .

    Tu ajoutes les membres de gauche entre eux et les membres de droite entre eux..

    En ajoutant les membres de gauche entre eux , regarde bien : les termes s'annulent "en diagonale" : 2² avec -2² , 3² avec -3² , ..., n² avec -n².
    Il reste (n+1)² ( en bas à gauche ) et -1² en haut à droite


  • mtschoon

    Piste pour les questions suivantes,

    Soit s2=12+22+32+...+n2s_2=1^2+2^2+3^2+...+n^2s2=12+22+32+...+n2

    Piste :

    (k+1)3=k3+3k2+3k+1(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1(k+1)3=k3+3k2+3k+1

    Donc : (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1(k+1)3k3=3k2+3k+1

    Tu appliques cette formule n fois ( de k=1 jusqu'à k=n)

    En sommant ( et en simplifiant le membre de gauche) , tu obtiendras :

    (n+1)3−13=3s2+3s1+n(n+1)^3-1^3=3s_2+3s_1+n(n+1)313=3s2+3s1+n

    Vu que tu connais déjà S1 , il ne te resteras qu'à isoler S2

    (Même principe pour trouver s3=13+23+33+...+n3s_3=1^3+2^3+3^3+...+n^3s3=13+23+33+...+n3 en utilisant (k+1)4(k+1)^4(k+1)4 )


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