calculs de sommes
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Eeas dernière édition par
- en développant (1+k)² pour k, entier compris entre 1 et n , déterminer la somme des n premiers entiers. Et de même, en développant (1+k)^3 et (1+k)^4, dénterminer la sommes des n premiers carrés et cubes .
J'ai fait :
(1+1)²=4
(1+n)²=1²+2n+n²
En sommant on a :
n=((1+n)²-(n²+1))/2Est-ce que c'est juste pour l'instant ?
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BONJOUR !
Je n'ai pas bien compris ta méthode .
Je te fais la première sommes1=1+2+3+...+ns_1=1+2+3+...+ns1=1+2+3+...+n
(k+1)2=k2+2k+1(k+1)^2=k^2+2k+1(k+1)2=k2+2k+1
Donc :
(k+1)2−k2=2k+1(k+1)^2-k^2=2k+1(k+1)2−k2=2k+1
k variant de 1 à n , tu obtiens :
$\left{(2)^2-1^2=2(1)+1\(3)^2-2^2=2(2)+1\...\...\(n+1)^2-n^2=2(n)+1\right$
En sommant , presque tous les termes de gauche s'annulent .
Il reste :
(n+1)2−1=2s1+n(n+1)^2-1=2s_1+n(n+1)2−1=2s1+n
Tu isoles S1S_1S1 et après transformation , tu obtiens la formule usuelle :
s1=n2+n2=n(n+1)2s_1=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}s1=2n2+n=2n(n+1)
Applique la même démarche pour les autre sommes.
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Eeas dernière édition par
J'ai pas compris l'étape << En sommant , presque tous les termes de gauche s'annulent >> Peux-tu me l'expliquer stp ?
Merci d'avance
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Je t'ai écris le système des n égalités utiles .
Tu ajoutes les membres de gauche entre eux et les membres de droite entre eux..
En ajoutant les membres de gauche entre eux , regarde bien : les termes s'annulent "en diagonale" : 2² avec -2² , 3² avec -3² , ..., n² avec -n².
Il reste (n+1)² ( en bas à gauche ) et -1² en haut à droite
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Piste pour les questions suivantes,
Soit s2=12+22+32+...+n2s_2=1^2+2^2+3^2+...+n^2s2=12+22+32+...+n2
Piste :
(k+1)3=k3+3k2+3k+1(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1(k+1)3=k3+3k2+3k+1
Donc : (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1(k+1)3−k3=3k2+3k+1
Tu appliques cette formule n fois ( de k=1 jusqu'à k=n)
En sommant ( et en simplifiant le membre de gauche) , tu obtiendras :
(n+1)3−13=3s2+3s1+n(n+1)^3-1^3=3s_2+3s_1+n(n+1)3−13=3s2+3s1+n
Vu que tu connais déjà S1 , il ne te resteras qu'à isoler S2
(Même principe pour trouver s3=13+23+33+...+n3s_3=1^3+2^3+3^3+...+n^3s3=13+23+33+...+n3 en utilisant (k+1)4(k+1)^4(k+1)4 )