calculs de sommes

en développant (1+k)² pour k, entier compris entre 1 et n , déterminer la somme des n premiers entiers. Et de même, en développant (1+k)^3 et (1+k)^4, dénterminer la sommes des n premiers carrés et cubes .

J'ai fait :
(1+1)²=4
(1+n)²=1²+2n+n²
En sommant on a :
n=((1+n)²-(n²+1))/2

Est-ce que c'est juste pour l'instant ?

BONJOUR !

Je n'ai pas bien compris ta méthode .

Je te fais la première somme $s_1=1+2+3+...+n$

$k+1)^2=k^2+2k+1$

Donc :

$k+1)^2-k^2=2k+1$

k variant de 1 à n , tu obtiens :

$\left{(2)^2-1^2=2(1)+1\(3)^2-2^2=2(2)+1\...\...\(n+1)^2-n^2=2(n)+1\right$

En sommant , presque tous les termes de gauche s'annulent .

Il reste :

$n+1)^2-1=2s_1+n$

Tu isoles $S_1$ et après transformation , tu obtiens la formule usuelle :

$s1=n2+n2=n(n+1)2s_1=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$

Applique la même démarche pour les autre sommes.

J'ai pas compris l'étape << En sommant , presque tous les termes de gauche s'annulent >> Peux-tu me l'expliquer stp ?
Merci d'avance

Je t'ai écris le système des n égalités utiles .

Tu ajoutes les membres de gauche entre eux et les membres de droite entre eux..

En ajoutant les membres de gauche entre eux , regarde bien : les termes s'annulent "en diagonale" : 2² avec -2² , 3² avec -3² , ..., n² avec -n².
Il reste (n+1)² ( en bas à gauche ) et -1² en haut à droite

Piste pour les questions suivantes,

Soit $s_2=1^2+2^2+3^2+...+n^2$

Piste :

$k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$

Donc : $k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$

Tu appliques cette formule n fois ( de k=1 jusqu'à k=n)

En sommant ( et en simplifiant le membre de gauche) , tu obtiendras :

$n+1)^3-1^3=3s_2+3s_1+n$

Vu que tu connais déjà S1 , il ne te resteras qu'à isoler S2

(Même principe pour trouver $s_3=1^3+2^3+3^3+...+n^3$ en utilisant $k+1)^4$ )