Fonctions et antécédents

Bonjour, j'ai un devoir de maths à rendre après les vacances; j'ai commencé un des exercices mais je suis bloquée à un moment.
Voilà l'exercice.

La fonction f est définie par f(x)=x^3 +2x -5
On se propose de déterminer antécédents de 0 par f.

a) Calculer f'(x) et précisez son signe.
b) Quel est le sens de variation de f ?
a) Trouvez deux nombres a et b tels que f(a) < 0 et f(b) > 0.
b) Montrez que dans l'intervalle [a;b], 0 ne possède qu'un seul antécédent.
c) en utilisant le sens de variation de f, montrez que 0 n'a pas d'autre antécédents.

J'ai fait le début de l'exercice, mais je bloque à la question 2. a) et aux autres. Pour la questions 2.a) Est ce qu'il faut choisir deux nombres aux hasard ? J'ai essayé de résoudre des inéquations ... Enfin j'ai essayé des trucs mais je n'arrive à aucun résultat concluant .

Voilà, merci d'avance si quelqu'un peut m'aider, sinon bon week-end à tous !

J'ai avancé dans l'exercice, j'ai trouvé la réponse aux question 2. a) et b) .
Les voici :

a) f(1) = -2 donc f(1) < 0
f(3) = 28 donc f(3) > 0
( j'ai pris deux chiffres au hasard .)

b) Théorème des valeurs intermédiaires:
Si une fonction est continu sur un intervalle [a;b] alors toutes les valeurs intermédiaires prises entre f(a) et f(b) on au moins un antécédents.
f(x)=0 soit f(x)=x^3 + 2x - 5= 0
donc x^3 + 2x -5 = 0
x^3 + 2x = 5
x^3 + x = 3
x^4 = 3
x = 3/4=0.75

Est ce quelqu'un pourrait me confirmer ce résultat ?
Par contre je ne voit pas comment je pourrai utiliser le sens de variation de f pour montrer que 0 n'as pas d'autre antécédents.

Bonjour,

Il faut commencer par étudier la fonction et notamment chercher sa dérivée et dresser son tableau de variations (questions 1)a) et b)) avant de vouloir appliquer le théorème de valeurs intermédiaires.
La dérivée est f'(x) = $3x^2$ +2 On en déduit le tableau de variations ci-dessous (je te laisse le soin de faire les calculs intermédiaires).
Pour la question 2)b), il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (et son corollaire): on sait, d’après le tableau de variations que f est continue et strictement croissante de [1;3] sur [-2;28]. Etant donne que -2 < 0 < 28, on peut en conclure que 0 possède un seul antécédent dans [1;3]. Ceci est confirmé par le graphe de f (qui ne constitue cependant pas une preuve).
Par contre, on ne peut résoudre directement l’équation $x^3$ + 2x - 5= 0 (ton calcul n'est pas correct car x^3 + x n'est pas égal à x^4).

Cordialement.