Variation et Limites d'une suite



  • Bonjour, veuillez m'excuser de la double discussion mais j'ai quelques problèmes sur la suite de mon exercice. Il consiste à calculer la variation d'une suite puis à en donner les limites. J'ai déjà calculer les variations de la première suite (Pn(P_n(Pn), mais je ne sais pas si mon calcul est juste. Pourriez-vous préciser si j'ai des erreurs, afin d'avoir un exemple de méthode ? Voici mon calcul :

    On sait que : PnP_nPn= 2 × 0,5n+15^{n+1}5n+1

    Donc : Pn+1P_{n+1}Pn+1= 2 × 0,5n+1+15^{n+1+1}5n+1+1
    Pn+1P_{n+1}Pn+1= 2 × 0,5n+25^{n+2}5n+2

    Pn+1P_{n+1}Pn+1 - PnP_nPn= (2 × 0,5n+25^{n+2}5n+2) - (2 × 0,5n+15^{n+1}5n+1)
    Pn+1P_{n+1}Pn+1 - PnP_nPn= 2 × 0,5 × 0,5 × 0,5n5^n5n - 2 × 0,5n5^n5n × 0,5
    Pn+1P_{n+1}Pn+1 - PnP_nPn= (2 × 0,5n+15^{n+1}5n+1)(0,5 - 1)

    Or, 2 × 0,5n+15^{n+1}5n+1 est strictement positif, donc Pn+1P_{n+1}Pn+1 - PnP_nPn est du signe (0,5 - 1) :

    0,5 - 1 = -0,5

    Or, -0,5<0

    Donc, (Pn(P_n(Pn) est décroissante.

    Pour finir, on me demande de noter les limites de cette suite, or, je ne sais pas du tout comment faire pour les noter, et qu'est-ce-qu'il faut savoir pour noter les limites d'une suite... Pourriez-vous m'éclairer ?

    Merci pour toutes vos réponses.



  • Bonjour,

    En principe , tu dois avoir un cours sur les suites géométriques.

    Si c'est le cas , il te suffit de l'appliquer.

    Toute suite géométrique de raison q avec -1 < q <1 converge vers 0

    (Pn) est une suite géométrique de raison q=0.5 , donc elle converge vers 0 :

    $\text{\lim_{n\to +\infty}P_n=0$

    PS : Une remarque : tu peux simplifier l'écriture de Pn dans tes calculs.

    $\text{ P_n=2\times 0.5^{n+1}=2\times 0.5\times 0.5^n=1\times 0.5^n=0.5^n$


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