Variation et Limites d'une suite

Bonjour, veuillez m'excuser de la double discussion mais j'ai quelques problèmes sur la suite de mon exercice. Il consiste à calculer la variation d'une suite puis à en donner les limites. J'ai déjà calculer les variations de la première suite $P_n$ ), mais je ne sais pas si mon calcul est juste. Pourriez-vous préciser si j'ai des erreurs, afin d'avoir un exemple de méthode ? Voici mon calcul :

On sait que : $P_n$ = 2 × 0, $5^{n+1}$

Donc : $P_{n+1}$ = 2 × 0, $5^{n+1+1}$
$P_{n+1}$ = 2 × 0, $5^{n+2}$

$P_{n+1}$ - $P_n$ = (2 × 0, $5^{n+2}$ ) - (2 × 0, $5^{n+1}$ )
$P_{n+1}$ - $P_n$ = 2 × 0,5 × 0,5 × 0, $5^n$ - 2 × 0, $5^n$ × 0,5
$P_{n+1}$ - $P_n$ = (2 × 0, $5^{n+1}$ )(0,5 - 1)

Or, 2 × 0, $5^{n+1}$ est strictement positif, donc $P_{n+1}$ - $P_n$ est du signe (0,5 - 1) :

0,5 - 1 = -0,5

Or, -0,5<0

Donc, $P_n$ ) est décroissante.

Pour finir, on me demande de noter les limites de cette suite, or, je ne sais pas du tout comment faire pour les noter, et qu'est-ce-qu'il faut savoir pour noter les limites d'une suite... Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci pour toutes vos réponses.

Bonjour,

En principe , tu dois avoir un cours sur les suites géométriques.

Si c'est le cas , il te suffit de l'appliquer.

Toute suite géométrique de raison q avec -1 < q <1 converge vers 0

(Pn) est une suite géométrique de raison q=0.5 , donc elle converge vers 0 :

$\text{\lim_{n\to +\infty}P_n=0$

PS : Une remarque : tu peux simplifier l'écriture de Pn dans tes calculs.

$\text{ P_n=2\times 0.5^{n+1}=2\times 0.5\times 0.5^n=1\times 0.5^n=0.5^n$