3. Problème sur les probabilités

Problème sur les probabilités

  • V

    Exercice 2. On veut estimer le nombre N > 30 d’écureuils vivants sur le campus d’Orsay. Pour cela
    on en capture M = 20, on leur met une marque sur une patte et on les relâche. On attend un mois que
    les 20 écureuils se mélangent avec le reste de la population écureuil du campus. Ce mois étant passé on
    capture n = 10 écureuils au hasard. On compte le nombre d’écureuils marqués parmi ces 10 et on note
    ce nombre XN. (les questions 2 et 3 sont indépendantes)

    1. Quelle est la loi de XN ?

    2. Pour 1 ≤ i ≤ 10 on définit Ai comme étant la variable aléatoire égale à 1 si le i-ème écureuil
      (parmi les 10) a une marque et 0 sinon.

    (a) Quelle est la loi de Ai ? Exprimer XN en fonction des Ai
    . En déduire E[XN].

    (b) Calculer P(A1 = 1 ∩ A2 = 1). Les variables aléatoires Ai sont elles indépendantes ?

    1. On définit la suite
      uN = P(XN = 3).

    (a) Donner une expression de uN en fonction de N ?
    (b) À quelle condition
    uN / uN−1 > 1?
    En déduire un tableau de variation pour uN.
    (c) Pour quel N, uN est-elle maximal ?
    (d) On suppose que sur les 10 écureuils, 3 sont marqués. Quel est la taille N de la population d’écureuil pour laquelle cette observation était la plus probable ? On appelle cet entier
    l’estimateur du maximum de vraisemblance de la taille de la population.

    je n'arrive pas du tout a faire l'exercice 2. est-ce que quelqu'un aurai l'ammabilité de m'aider ?
    je vous remercie d'avance 😃

    *Merci de n'écrire qu'un seul exercice par discussion. *

    P 1 réponse
  • P

    Bonjour vero91

    As tu besoin d'aide pour l'exo no 1 ?

    Pour l'exo no 2 :
    A condition que le nombre d’écureuils vivants reste le même (pas de naissance et pas de mort....) , alors la loi qui permet de calculer la probabilité d'avoir X écureuils marqués , lors d'un comptage de n écureuils , est une loi hypergéométrique de paramètres N > 30, M=20 et n

    P 1 réponse
  • P

    Quelques explications supplémentairespour calculer le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.....

    Il y a $n > 30$ écureuils au total dans la forêt dont m=20m = 20m=20 avec une marque
    donc il y a $n-m > 10$ écureuils non marqués

    Si on fait un tirage de n=10 écureuils simultanés dont xnx_nxn​ sont marqués ( avec xn≤10x_n \le 10xn​≤10 )

    on a (xn m)\left( \begin{array}{c} x_n \ m \end{array} \right)(xn​ m​) combinaisons possibles d'écureuils dits "marqués"
    et
    on a (n−xn n−m)\left( \begin{array}{c} n-x_n \ n-m \end{array} \right)(n−xn​ n−m​) combinaisons possibles d'écureuils dits "NON marqués"

    Conclusion:

    • le nombre de cas favorablespossibles est : (xn m)\left( \begin{array}{c} x_n \ m \end{array} \right)(xn​ m​) ×\times× (n−xn n−m)\left( \begin{array}{c} n-x_n \ n-m \end{array} \right)(n−xn​ n−m​)

    ET

    • le nombre de cas possibles est : (n n)\left( \begin{array}{c} n \ n \end{array} \right)(n n​)
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