exo suite



  • Bonjour, j'ai un exo à faire et j'aurais besoin de votre aide

    On considère trois suites (Un),(Vn) et (Wn) définies par : U0>V0>W0>0
    et n
    Un+1=(Un+Vn+Wn)/3
    Vn+1=UnVnWn
    1/(Wn+1)=1/3 * (1/Un +1/Vn + 1/Wn)

    1. Montrer les trois suites sont biens définies et strictement positives
      2 . On admet provisoirement l'inégalités :
      (a,b,c) [0,+[ : (a+b+c)/3 ≥ racinecubique( abc)
      a. Montrer que : n : Un≥Vn≥Wn
      B. Montrer que la suite (Un) est décroissante
      c. Montrer que la suite (Wn ) est croissante
      d. Montrer que :n: Un-Wn2/3 *(Un-Wn)
      e. Montrer que n : Un-Wn(2/3)^n (U0-W0)
      f.Montrer que les trois suites (Un),(Vn) et (Wn) convergent vers la même limite

    Alors voila ce que j'ai fait :
    1 . Un Vn Wn sont > 0 et donc leur somme également et le produit de la somme et de 1/3 est forcément >0 et est donc définis sur *
    le produit de Un et Vn et Wn est forcément >0 car ils sont >0 , et la fonction est définie sur [0,+[ et donc c'est >0 et définie sur *
    meme résonnement pour 1/(Wn+1)
    2 .a En fait il faut utiliser la récurence
    1er étape : n=0 , U0<V0<W0
    2eme étape pour n+1
    sachant que (a+b+c)/3≥ racinecubique (abc)
    en remplacant a par Un b par Vn et c par Wn
    on obtient Un +Vn+Wn / 3 =Un+1 et Un+1 Vn+1
    et donc un Vn

    apres je n'arrive pas à montrer Vn+1≥Wn+1 .De l'aide serait tres util

    b. Pour montrer que un est décroissante , on montre que unun+1 et donc on un-un+1 ce qui fait (2un-vn-wn)/30 or un >vn>wn et donc Un est décoissant
    Est-ce que c'est bon pour l'instant ?

    Merci d'avance



  • Personne ?



  • Bonjour,

    Bizarre...

    Vu la formule donnée à la question , j'aurais pensé :

    vn+1=unvnwn3v_{n+1}=\sqrt[3]{u_nv_nw_n}


 

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