fonction de IN vers IN prob

f est une fonction de IN vers IN telle que:
f(1)≠0
(∀(n,m)∈IN²) f(n² + m²)=(f(n))² + (f(m))²

calculer f(k) ; 0≤k≤13
montrer que f(n) = n (∀ n∈IN)

j'ai pu montrer que f(k)=k pour 0≤k≤13

Bonjour,
Détaille comment tu as calculé f(7), f(11).
Peut-être pourras-tu généraliser.

f(50)=f(5² + 5²)=f(5)²+ f(5)²=50
et aussi:
f(50)=f(1 + 7²)=f(1)+ f(7)²=1+f(7)²
donc f(7)²=50-1=49=7²
⇒f(7)=7
pour k=11:
125=100+25=4+121
donc
f(11)²+f(2)²=f(10)²+f(5)²
ce qui donne:
f(11)=11

Il y a en effet plusieurs façons de calculer f(7) ou f(11) ou f(12) ou f(13) ...
Mais l'une d'entre elles peut se généraliser pour n ≥ 14 ( puisque tu as établi la propriété jusqu'à 13).
Pour commencer, touve une identité "remarquable" (pas facile à deviner sans aide !) :
(5a + 2b)² + b² = (...)² + (....)²
les nouvelles parenthèses étant évidemment différentes des premières (sinon aucune utilité).

Merci Mr mathtous
je vais essayer de trouver cette identité

Tu peux t'aider pour dela d'un résultat bien connu : 5² = 3² + 4²
Donc 25a² = 9a² + 16a²
Et puis tu tentes de compléter.

Attention : j'ai corrigé une erreur (désolé : pas fait attention) :
C'est (5a + 2b)²

merci tres bien
c'est ca l'identité:

(5a + 2b)² + b² = (3a + 2b)² + (4a + b)²