3. Approximation uniforme

Approximation uniforme

  • P

    Bonjour, je suis en classe prépa, et j'ai besoin d'aide pour faire un exercice. Je n'arrive pas à faire les calculs de la première partie du problème.

    A. Calculs préliminaires :

    1. Démontrer que ∑p=0n(np)×(x)p×(1−x)n−p=1\sum_{p=0}^{n}{{n \choose p}\times(x)^{p}\times(1-x)^{n-p}=1}∑p=0n​(pn​)×(x)p×(1−x)n−p=1
    2. Démontrer que ∑p=0np×(np)×(x)p×(1−x)n−p=nx\sum_{p=0}^{n}{p\times{n \choose p}\times(x)^{p}\times(1-x)^{n-p}=nx}∑p=0n​p×(pn​)×(x)p×(1−x)n−p=nx
    3. Démontrer que ∑p=0np×(p−1)×(np)×(x)p×(1−x)n−p=n(n−1)x2\sum_{p=0}^{n}{p\times(p-1)\times{n \choose p}\times(x)^{p}\times(1-x)^{n-p}=n(n-1)x^{2}}∑p=0n​p×(p−1)×(pn​)×(x)p×(1−x)n−p=n(n−1)x2
    4. Déduire des questions précédentes que ∑p=0n(x−pn)×(np)×(x)p×(1−x)n−p=x(1−x)n\sum_{p=0}^{n}{(x-\frac{p}{n})\times{n \choose p}\times(x)^{p}\times(1-x)^{n-p}=\frac{x(1-x)}{n}}∑p=0n​(x−np​)×(pn​)×(x)p×(1−x)n−p=nx(1−x)​

    L'exercice comporte deux autres parties mais j'ai déjà besoin d'aide pour cette première parti.

    Pour la question 1, j'ai penser à sortir le premier terme et le dernier mais après je ne vois pas comment faire. Pourriez vous m'aidez à démarrer mes calculs s'il vous plaît.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques idées pour te mettre sur la voie .

    Idée : utilisela formule du Binome de Newton.

    1. C'est direct.

    Le membre de gauche est (a+b)n(a+b)^n(a+b)n avec a=x et b=1-x

    La somme est donc (x+1−x)n=1n=1(x+1-x)^n=1^n=1(x+1−x)n=1n=1

    1. Même idée , mais il faut faire une transformation avec les combinaisons avant de pouvoir appliquer la formule du binome.

    Déjà , la somme peut s'écrire :$\sum_{p=1}^{n}{p\times{n \choose p}\times(x)^{p}\times(1-x)^{n-p}$

    Tu sais ( ou tu démontres ) que :

    p(np)=n(n−1p−1)p{{n}\choose{p}}=n{{n-1}\choose{p-1}}p(pn​)=n(p−1n−1​)

    Ainsi , tu peux mettre n en facteur.
    Ensuite , tu mets x en facteur
    Dans le facteur restant , tu reconnais le la formule du binome (ce facteur vaudra 1 )

    1. Même idée , mais il faut faire une transformation avec les combinaisons avant de pouvoir appliquer la formule du binome.

    Déjà , la somme peut s'écrire :$\sum_{p=2}^{n}{p\times{n \choose p}\times(x)^{p}\times(1-x)^{n-p}$

    Tu sais ( ou tu démontres ) que :

    p(p−1)(np)=n(n−1)(n−2p−2)p(p-1) {{n}\choose{p}}=n(n-1){{n-2}\choose{p-2}}p(p−1)(pn​)=n(n−1)(p−2n−2​)

    Ainsi , tu peux mettre n(n-1) en facteur
    Ensuite tu peux mettre x² en facteur.
    Dans le facteur restant , tu reconnais le la formule du binome (ce facteur vaudra 1 )

    Bons calculs.

    P 1 réponse
  • P

    Merci de votre aide.
    Donc pour le 1, c'est fait.
    Pour le 2, ∑p=1np(np)xp(1−x)n−p\sum_{p=1}^{n}{p{n \choose p} x^{p}(1-x)^{n-p}}∑p=1n​p(pn​)xp(1−x)n−p
    p(np)=p×np(n−1p−1)=n(n−1p−1)p{n \choose p} =p\times \frac{n}{p}{n-1\choose p-1}=n{n-1\choose p-1}p(pn​)=p×pn​(p−1n−1​)=n(p−1n−1​)
    ∑p=1np(np)xp(1−x)n−p=∑p=1nn(n−1p−1)xp(1−x)n−p=∑p=1nn((n−1p−1)xp(1−x)n−p)=∑p=1nnx((n−1p−1)xp−1(1−x)n−p−1)\sum_{p=1}^{n}{p{n \choose p} x^{p}(1-x)^{n-p}}=\sum_{p=1}^{n}{n{n-1\choose p-1}x^{p}(1-x)^{n-p}}=\sum_{p=1}^{n}{n({n-1\choose p-1}x^{p}(1-x)^{n-p})}=\sum_{p=1}^{n}{nx({n-1\choose p-1}x^{p-1}(1-x)^{n-p-1})}∑p=1n​p(pn​)xp(1−x)n−p=∑p=1n​n(p−1n−1​)xp(1−x)n−p=∑p=1n​n((p−1n−1​)xp(1−x)n−p)=∑p=1n​nx((p−1n−1​)xp−1(1−x)n−p−1)
    On pose k=p-1
    ∑p=1np(np)xp(1−x)n−p=∑k=?nnx((n−1k)xk(1−x)n−k)\sum_{p=1}^{n}{p{n \choose p} x^{p}(1-x)^{n-p}}=\sum_{k=?}^{n}{nx({n-1\choose k}x^{k}(1-x)^{n-k})}∑p=1n​p(pn​)xp(1−x)n−p=∑k=?n​nx((kn−1​)xk(1−x)n−k)
    Je ne sais pas ce que je doit poser dans la somme pour k une fois le changement de variable fait. Je pense à k=0 mais je ne suis pas sur. Et il me manque l'étape de factorisation pour n car je ne vois pas comment factoriser de sorte à avoir k parmi n dans la formule.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Sors nx du signe "somme"

    De plus , en posant k=p-1 , k varie de 0 à n-1

    L'exposant de (1-x) vaut n-p c'est à dire n-k-1

    ∑p=1np(np)xp(1−x)n−p=nx∑k=0n−1(n−1k)xk(1−x)n−k−1\sum_{p=1}^{n}{p{n \choose p} x^{p}(1-x)^{n-p}}=nx\sum_{k=0}^{n-1}{{n-1\choose k}x^{k}(1-x)^{n-k-1}}∑p=1n​p(pn​)xp(1−x)n−p=nx∑k=0n−1​(kn−1​)xk(1−x)n−k−1

    Il te reste à reconnaître la formule du binôme dans cette somme

    P 1 réponse
  • P

    Ah oui en effet! Merci donc si je comprend bien après on applique la formule du binôme de Newton et on obtient:
    nx(x+(1−x))n−1=1n−1nx=nxnx(x+(1-x))^{n-1}=1^{n-1}nx=nxnx(x+(1−x))n−1=1n−1nx=nx
    Et on fait de même pour la question trois, sauf qu'on applique le binôme de Newton avec n-2, non?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Tout à fait !

    P 1 réponse
  • P

    Merci beaucoup j'ai même réussi à faire la 4ème question
    Maintenant j'aurai besoin d'un peu d'aide pour la deuxième partie de l'exercice. J'ai des idées mais je ne sais pas si cela est correct .

    B. Majoration de S(x):
    Soient n∈mathbbNmathbb{N}mathbbN* et x∈[0;1]. Le but de cette partie est de majorer la somme
    s(x)=∑k=0n∣ x−kn ∣(nk)xk(1−x)n−ks(x)=\sum_{k=0}^{n}{\begin{vmatrix} \ x-\frac{k}{n} \ \end{vmatrix}{n \choose k} x^{k}(1-x)^{n-k}}s(x)=∑k=0n​∣∣∣​ x−nk​ ​∣∣∣​(kn​)xk(1−x)n−k
    On note

    V l'ensemble des entiers k ∈ {0,...,n} tels que ∣ x−kn ∣≤1n{\begin{vmatrix} \ x-\frac{k}{n} \ \end{vmatrix}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}}∣∣∣​ x−nk​ ​∣∣∣​≤n​1​;
    W l'ensemble des entiers k ∈ {0,...,n} tels que ${\begin{vmatrix} \ x-\frac{k}{n} \ \end{vmatrix}\ >\frac{1}{\sqrt{n}}}$.
    On pose:
    sv(x)=∑k∈v∣ x−kn ∣(nk)xk(1−x)n−ks_v(x)=\sum_{k\in v}^{}{\begin{vmatrix} \ x-\frac{k}{n} \ \end{vmatrix}{n \choose k} x^{k}(1-x)^{n-k}}sv​(x)=∑k∈v​∣∣∣​ x−nk​ ​∣∣∣​(kn​)xk(1−x)n−k et sw(x)=∑k∈w∣ x−kn ∣(nk)xk(1−x)n−ks_w(x)=\sum_{k\in w}^{}{\begin{vmatrix} \ x-\frac{k}{n} \ \end{vmatrix}{n \choose k} x^{k}(1-x)^{n-k}}sw​(x)=∑k∈w​∣∣∣​ x−nk​ ​∣∣∣​(kn​)xk(1−x)n−k

    5- Montrer que sv(x)≤1ns_v(x)\leq \frac{1}{\sqrt{n}}sv​(x)≤n​1​.
    6- Montrer que sw(x)≤x(1−x)ns_w(x)\leq \frac{x(1-x)}{\sqrt{n}}sw​(x)≤n​x(1−x)​.
    7- en déduire que s(x)≤54ns(x)\leq \frac{5}{4\sqrt{n}}s(x)≤4n​5​.

    Pour la 5 j'avais pensé à dire que:
    s(x)=x(1−x)ns(x)=\frac{x(1-x)}{n}s(x)=nx(1−x)​ et montrer que x(1−x)n≤1n\frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}nx(1−x)​≤n​1​
    Pour la 6, je pensais faire de même mais je sais pas si j'ai le droit de prouver les inégalités de cette manière !

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Effectivement , ta démarche pour la 5) est bizarre car S(x) ne vaut pas x(1−x)x\frac{x(1-x)}{x}xx(1−x)​ ( à cause des valeurs absolues )

    Une piste possible pour la 5)

    En utilisant la condition sur V :

    $s_v(x) \le \bigsum_{k\in v}\frac{1}{\sqrt n} {{n}\choose{k}}x^k(1-x)^{n-k}$

    $s_v(x) \le \frac{1}{\sqrt n} \bigsum_{k\in v}{{n}\choose{k}}x^k(1-x)^{n-k}$

    Vu que $\bigsum_{k\in v}{{n}\choose{k}}x^k(1-x)^{n-k}\le \bigsum_{k=0}^n{{n}\choose{k}}x^k(1-x)^{n-k}$

    Tu peux déduire que :

    $s_v(x) \le \frac{1}{\sqrt n} \bigsum_{k=0}^n{{n}\choose{k}}x^k(1-x)^{n-k}$

    En utilisant maintenant la propriété A.1. , tu obtiens l'inégalité demandée.

    *Je te laisse continuer ton DM.

    Je n'ai pas cherché la 6) ni la 7)

    Visiblement , la 7) est la conséquence de 5) et 6)
    En ajoutant membre à membre 5) et 6) et en majorant le nouveau membre de droite obtenu , tu doit logiquement trouver l'inégalité souhaitée.*

    Bon DM !

    P 1 réponse
  • P

    Merci beaucoup grâce à vous j'ai réussi à finir ces trois question ainsi que la dernière partie de mon exercice. Encore merci! 🙂

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    De rien , et Bravo surtout !

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