SUITES ADJACENTES

Bonjour à tous,
j'ai un exercice un peu bizarre qui me fatigue dont l'enoncé est:
Montrer que les suites suivantes sont adjacentes:
{ U0= sin( 0 ) et U(n+1)= racine [ Un* V(n+1)] et
{ V0= tan( 0 ) et V(n+1)= (2Un* Vn) /( Un+ Vn).
lorsque j'ecris sin(0) ça veut dire sin ( tèta) de meme que tangente.
je connais la definition de 2 suites adjacentes mais c est l application à mon exercice qui me pose probleme. donc j ai besoin de piste.
Merci d'avance

Bonjour pierresimpore

Regarde sur internet "les suites de Schowb"

Merci de m'avoir repondu, effectivement je suis allé sur internet pour les recherches sur les suites de schowb, et je suis meme tombé sur un exercice un peu semblable au mien dans un forum de math et j'ai compris comment resoudre mon exercice. en fait il s'agit de trouver le terme géneral des deux suites c est à dire Un=.... et aussi Vn= .... Ensuite utiliser la definition.
pour la determination de Un et Vn il suffit de calculer les premiers termes et essayé de voir une forme possible, ensuite utiliser la recurrence.
MERCI BEAUCOUP POUR VOTRE AIDE

De rien....

Voici quelques "sujets de réflexion" intéressants à approfondir sur les 2 suites $u_n)$ et $v_n)$

définies par les relations de récurrence : $un+1=unvn+1u_{n+1}=\sqrt{u_n v_{n+1}}$ et $vn+1=2unvnun+vnv_{n+1}=\frac{2u_n v_n}{u_n+v_n}$
(*)

1) D'où viennent ces 2 relations de récurrence :

soit des fonctions trigonométriques
soit des fonction hyperboliques

2) Selon les valeurs initiales , ces 2 suites peuvent converger

soit vers le nombre $π\pi$
soit vers un nombre du type $l n (a)$ avec $a > 0$
Exemples:
cas $u0<v0u_0 \lt v_0$ : si $u0=22u_0=2 \sqrt{2}$ et $v_0=4$ , alors ces 2 suites convergent vers $π\pi$
cas $u0>v0u_0 \gt v_0$ : si $u0=34u_0=\frac{3}{4}$ et $v0=35v_0=\frac{3}{5}$ , alors ces 2 suites convergent vers $l n (2)$

3) "Analogie" avec les moyennes : arithmétique , géométrique et harmonique de 2 nombres positifs.
Soit a et b 2 réels positifs tels que 0 < a < b

Moyenne arithmétique de a et b : $m=a+b2m=\frac{a+b}{2}$
Moyenne géométrique de a et b : $g=abg=\sqrt{ab}$
Moyenne harmonique de a et b : $h=2aba+bh=\frac{2ab}{a+b}$ ( on a $h=g2mh=\frac{g^2}{m}$ )
et on a les inégalités : a < h < g < m < b

Soit les 2 suites $u_n)$ et $v_n)$ définies par les relations
(*)

si $u_0=v_0$ alors ces 2 suites sont constantes
si $0 < u_0 < v_0$ alors ces 2 suites sont adjacentes
et pour tout n on a les inégalités : $\lt u_n \lt u_{n+1} \lt v_{n+1} \lt \frac{u_n+v_n}{2} \lt v_n$

Bonjour,
Une chose m'échappe dans ce qui est dit.
Il est précisé dans l'énoncé que u0 = sin θ et v0 = tan θ.
Dans ces conditions, u0 ne peut valoir 2√2, et dans l'autre exemple, si sin θ = 3/4, tan θ ne peut valoir 3/5.
En outre, des valeurs de θ distinctes d'un multiple de 2π donnent les mêmes valeurs pour u0 et v0. Il me semble qu'il faudrait préciser dans l'énoncé une limitation des valeurs possibles de θ.
Ainsi, si θ est, dans l'intervalle ]0 ; π/2[, je crois (mais j'ai pu commettre plusieurs erreurs) que la limite commune est θ et non π.
Puis-je avoir des éclaircissements ?

Bonjour

je n'a pas parlé des valeurs initiales prises dans l'exo de pierresimpore

Désolé pour cette confusion...

J'ai uniquement évoqué le cas de 2 catégories très connues de *"suites dites de "Schowb"" *
(et qui vérifient les mêmes relations de récurrence que les relations de récurrence données l'exo de pierresimpore)

**1)**les suites $un=2nsin(π2n)u_n=2^n sin(\frac{\pi}{2^n})$ et $vn=2ntan(π2n)v_n=2^n tan(\frac{\pi}{2^n})$ et qui convergent vers le nombre $π\pi$

2) les suites $un=2nsh(ln(a)2n)u_n=2^n sh(\frac{ln(a)}{2^n})$ et $vn=2nth(ln(a)2n)v_n=2^n th(\frac{ln(a)}{2^n})$ et qui convergent vers le nombre $l n (a)$

Comme $u0=sh(ln(a))=a2−12au_0=sh(ln(a))=\frac{a^2-1}{2a}$ et $v0=th(ln(a))=a2−1a2+1v_0=th(ln(a))=\frac{a^2-1}{a^2+1}$

Et en prenant $a = 2$ , on obtient : $u0=34u_0=\frac{3}{4}$ et $v0=35v_0=\frac{3}{5}$

OK.
Mais en ce qui concerne les suites de pierresimpore, je trouve, si θ ∈]0;π/2[ :
$U_n$ = $2^n$ sin(θ $2^n$ ) et $V_n$ = $2^n$ tan(θ $2^n$ ) qui sauf erreur convergent vers θ.
Par contre, pas simple si θ ∈]-π/2;0[ : comment s'expriment alors Un et Vn ?
C'est nettement moins simple, c'est pourquoi je suggérais de préciser les valeurs de θ.

@mathtous

En effet les 2 suites de "Schwob" : $U_n$ = $2^n$ sin(θ $2^n$ ) et $V_n$ = $2^n$ tan(θ $2^n$ )

convergent bien vers θ

ps1)

*"c'est quasi évident" *car

limite de $sin(θ2n)θ2n\frac{ sin(\frac{\theta}{2^n})}{\frac {\theta}{{2^n}}}$ est $θ\theta$ quand n tend vers +infini

et

limite de $tan(θ2n)θ2n\frac{ tan(\frac{\theta}{2^n})}{\frac {\theta}{{2^n}}}$ est $θ\theta$ quand n tend vers +infini

ps2)
si θ ∈]-π/2;0[ , comme -θ ∈]0;π/2[ alors à mon avis cela doit être facile de conclure car sinus et tangente sont des fonctions impaires....

Ne serait-ce pas Un = θ. sin(θ $2^n$ )/(θ $2^n$ ) , avec sin(θ $2^n$ )/(θ $2^n$ ) qui tend vers 1 ? (et donc Un tend vers θ). Id pour la tangente.

Pour la seconde question (et si θ < 0 ?), je pense qu'il faut en fait prendre la détermination de θ (soit θ1) entre 0 et 2π. Exclusion faite évidemment de 0 , π/2, π, et 3π/2.
Ainsi, il est possible que sin θ1 soit négatif, mais sin (θ1/2) est positif (ainsi que les suivants) et c'est tout ce qui compte.
On obtient donc les mêmes formules mais avec θ1 au lieu de θ, et la limite est donc θ1.
Notons que la suite (Vn) peut ne décroître qu'à partir de V2 et non dès le début.

Bonsoir,
Merci à vous pour plus d'éclaircissement. désolé j'ai oublié de préciser les limites de l'angle (0).
l'angle ( 0 ) est compris entre ] zero, pi/2 [ .
j'ai effectivement trouvé les memes expressions de Un et Vn que vous et ensuite j'ai appliqué la proprieté des suites adjacentes pour demontrer que ses deux suites sont adjacentes. Si l'angle tèta appartenait à ] -pi/2 , 0 [ je pense qu'on aura pas trouver les memes expressions de Un et Vn.

Citation
Si l'angle tèta appartenait à ] -pi/2 , 0 [ je pense qu'on aura pas trouver les memes expressions de Un et Vn.Pas vraiment, du moins pas avec θ lui-même.
Citation
je pense qu'il faut en fait prendre la détermination de θ (soit θ1) entre 0 et 2π. Exclusion faite évidemment de 0 , π/2, π, et 3π/2.On obtient alors les mêmes formules, mais avec θ1 au lieu θ.
Car il est indispensable que Un soit positif dès que n ≥ 1 et Vn positif dès que n ≥ 2.
Il en résulte que sin(θ1/2) doit être positif, ce qui est le cas, contrairement à sin (θ/2) si θ est négatif.