Exercice de Géométrie : calcul de l'aire d'un trapèze

[ptinoir_phiphi]

Bonjour à tous

Voici un exercice de géométrie pas facile... et qui est d'un niveau "collège" : classe de 3ième

Enoncé de l'exercice:
On travaille dans un plan muni d'un repère orthonormé ($o$ , $\vec{i}$ , $\vec{j}$ )

• Soit le cercle $c$ de centre le point $o$ et de rayon $r=2$

• Soit $abcd$ un trapèze rectangle en $a$ et en $b$ tel que

a) $ab=4$

b) $bc=3$

c) Le cercle $c$ est inscrit dans le trapèze $abcd$
( c'est à dire : le cercle $c$ est à l'intérieur du trapèze et est tangent aux quatre côtés de ce trapèze )

Questions:

**1)**Faire un dessin

**2)**Montrer que l’aire du trapèze $abcd$ est égale à $18$
*(en justifiant votre réponse) *

ps)

*Il y a plusieurs méthodes pour trouver ce résultat...
Merci d'expliquer votre raisonnement et vos calculs

• soit en quelques mots
• soit en détail *

[mathtous]

Bonjour,
En quelques mots :
Par des considérations angulaires, OCD est rectangle en O
Avec Pythagore :
OC² = 5
OD² = x² + 4
CD² = OC² + OD²
D'où (x+1)² = 5 + x² + 4
D'où x = 4.
La fin est sans problème : on a les bases et la hauteur.

[ptinoir_phiphi]

Salut

Bravo mathtous

ps)
Il y a une autre méthode qui utilise le "théorème du chapeau chinois"

(théorème "quasi-évident" ET qui n'est pas enseigné au collège...)

Enoncé de ce théorème:
Soit un cercle $c$ et un point $m$ "à l'extérieur" de ce cercle

Il existe 2 droites $(mt)$ et $(m{t}^{\prime })$ tangentes au cercle $c$

• La droite $(mt)$ est tangente à $c$ en $t$
  et
  -La droite $(m{t}^{\prime })$ est tangente à $c$ en $t^{\prime }$

- ET de plus on a : $mt=m{t}^{\prime }$

[mathtous]

C'est bien ce que j'utilise quand je sous-entends DE = DT = x ainsi que CT = CF = 1.
Ce théorème a été enseigné jadis au collège, mais je n'y ai plus remis les pieds depuis plusieurs siècles ...

Essaie à ton tour mon problème sur Fermat.

[ptinoir_phiphi]

@TOUS

Il y a une autre méthode qui est
*"visuelle" *et qui permet de trouver
18
"en faisant un calcul mental (de tête....)"

[mathtous]

Les triangles OTC et OTD sont semblables.
OT est le double de CT, donc TD est le double de OT : x=4.

[ptinoir_phiphi]

Salut

Un "beau dessin" est toujours mieux qu'un "long discours"....

ET pour les *" 2 à 3 autres internautes de Math-foru'" * qui liront cette discussion , voici , DONC , un beau dessin:

Calculons
la longueur x mentalement (c'est à dire de tête...):

Le triangle CHD a ses 3 côtés qui font $4$ et $x-1$ et $x+1$

ET *"on sait" *
**(ou plus exactement : "dans le temps , on savait...")**que
comme CHD est un triangle rectangle en H : ALORS les 3 côtés de ce triangle font $3$ et $4$ et $5$

Conclusion: x=4

ET DONC on "voit" que :

"Aire du trapèze ABCD" = "Aire du rectangle ABCH" + "Aire du triangle CHD"

"Aire du triangle CHD" = $\frac{1}{2}$ $\times$ "Aire du rectangle ABCH"

[mathtous]

Bonjour,
Quelque chose m'échappe :

1. Comment justifies-tu que l'aire du triangle CHD est la moitié de celle du rectangle ABCH ?
2. Si c'est le cas, inutile de calculer x puisque l'aire du rectangle vaut 12, donc celle du triangle vaut 6.

La méthode que j'avais donnée ici
Citation
Les triangles OTC et OTD sont semblables.
OT est le double de CT, donc TD est le double de OT : x=4permet aussi des calculs "de tête" (et est "justifiable").

Ah! mais je m'aperçois que tu as "triché" en changeant l'ordre de tes paragraphes.

[ptinoir_phiphi]

Salut

car on trouve que
x=4

Et , pour le triangle CHD , on a donc

HC = 4
HD =
x- 1 = 3
CD =
x+ 1 = 5

*et ce qui permet d'écrire que : *
"Aire du triangle CHD" = $\frac{1}{2}$ $\times$ "Aire du rectangle ABCH"

ps)
Je n'ai pas dit (ou plus exactement écrit)que ta méthode n'était pas correcte...

"so don't worry...."
: - )

[mathtous]

Oui, oui, mais comme je l'ai écrit ci-dessus, tu as changé l'ordre de tes paragraphes : tu avaisinitialement écrit que l'aire du triangle valait la moitié de celle du rectangle avant de calculer x.

[ptinoir_phiphi]

mathtous

*Ah! mais je m'aperçois que tu as "triché" en changeant l'ordre de tes paragraphes... *

• Salut

Si relire et corriger un message qu'on vient d'écrire sur $matfor{u}^{\prime }$ est considéré comme : tricher ?

alors oui je n'arrête pas de [i] tricher*.....

A+

ps)
Tu as raison : le calcul de la longueur
xétait expliqué dans la 1ière version de mon massage dans un ps)...

: -)

[mathtous]

Ne le prends pas mal, tu vois bien que j'ai écrit "triché" entre guillemets.
Mais pense à ceux qui lisent : j'avais lu ce qui était initialement écrit, d'où ma perplexité.
Corriger est une chose, modifier en est une autre.

[ptinoir_phiphi]

mathtous
Ne le prends pas mal...

don't worry

[mathtous]

En tout cas ta dernière méthode est astucieuse.

[ptinoir_phiphi]

ce n'est pas
*"MA méthode" *mais plutôt
*"UNE méthode parmi d'autres..." *

: - )