Axiome : angles d'un triangle



  • Bonjour à tous

    actuellement en terminale S ( spé maths ), j'ai lu un livre intitulé "promenades mathématiques" ( assez dur, mais très intéressant ), dans lequel l'auteur a parlé il me semble à un moment quelconque de triangles, en disant qu'il était indémontrable que la somme de ses angles fasse 180°. De plus, je crois me rappeler que dans les années 70, un mathématicien a tracé un triangle sur une feuille de papier placée sur une sphère : le triangle obtenu tient de la géométrie non euclidienne, ce qui constituerait une preuve de l'indémontrabilité du précédent axiome ( d'ou l'appellation axiome ...)

    J'ai consulté divers articles sur la question en recherchant sur le net mùais je n'ai rien trouvé de satisfaisant

    Je m'en remets donc à vous :
    Si vous avez lu ce livre, pourriez vous m'indiquer la page ou le chapitre ou le sujet est abordé
    Si vous avez des connaissances sur ce sujet, pourriez vous m'en faire part

    merci d'avance

    EDIT : si ce sujet n'est pas au bon endroit, merci de le déplacer 😉



  • Salut,

    je ne connais pas ce livre mais un triangle dont la somme des 3 angles ne fait pas 180° n'est certainement pas un triangle de la géométrie euclidienne (celle enseignée à l'école) pour laquelle cette propriété est facilement démontrable.
    Par contre dans la géométrie non euclidienne, il est vrai que cette propriété est fausse.
    Il faut faire très attention et ne pas se mélanger les pinceaux entre les différentes théories mathématiques ; car une propriété vraie dans l'une, ne l'est pas forcément dans l'autre et ce en raison des axiomes de ces théories qui diffèrent.



  • hum : une feuille placée sur une sphère... ça laisse rêveur.

    ce livre est en effet excellent (quoique dense).
    ce à quoi tu fais référence (vagement) se trouve p. 279 : c'est surtout la possibilité d'autres géométries que la géométrie euclidienne qui y est discutée ; "l'axiome indémontrable" dont tu parles est celui des parallèles.

    dans le plan, la somme des angles de tout triangle est toujours 180°.

    sur une sphère, la somme des angles d'un triangle sphérique dépend de l'aire du triangle et du rayon de la sphère comme indiqué ici.



  • la somme des angles d'un triangle sphérique est égale à 180°, augmenté d'un nombre positif (c'est "l'excès sphérique") qui dépend du triangle et de la sphère. Un théorème de Legendre dit que lorsque les côtés du triangle sont petits devant le rayon de la sphère, alors l'excès sphérique est donnée avec une bonne approximation par S/R², où S est l'aire de ce triangle. Mais ce n'est qu'une approximation...
    source : trigonométrie rectiligne et sphérique, de Serret.



  • Le triangle sphérique... quel son utilisation ??



  • ça doit être le cadre naturel de la géodésie et de l'astronomie.



  • merci bien des réponses

    meme si le passage cité n'est pas exactement celui que je cherchais, ca m'ira, de toutes facons je suis en train de relire le bouquin

    bonnes fetes 😄



  • (complément)
    j'ai par hasard lu ceci

    • le cinquième postulat d'Euclide (dans ses Eléménts)

    *si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites - indéfiniment prolongées - se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits ; *

    • sa forme équivalente, par Proclus

    *par un point extérieur à une droite, il passe une parallèle et une seule ; *

    • sa forme équivalente, par Legendre

    *la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits. *



  • C'est pas très clair l'affirmation d'Euclide... 😲 J'y pige que dalles !! 😕
    Heureusement que le langage a évolué... 😆



  • Ok, je mets une illustration...

    http://pix.nofrag.com/2d/1f/392a73ec24f9354b0303c2201351.png



  • En effet avec un dessin ça passe mieux...mais les formes de Proclus et de Legendre sont beaucoup plus claires...même sans dessin.
    😁


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