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  • Bonjour, ne comprenant rien du tout à mon cour sur les fonctions d'une variable réelle et devant faire quelques exercices j'aurais besoin d'aide pour comprendre.

    Donc on nous donne :
    On considère la fonction f : x → √4-x² ( la racine englobe tout le 4-x²) dont la représentation graphique sur [ -2 ; +2 ] est :

    je ne peux pas poster l'image, donc en effet elle est comprise en -2 et +2 et représente un demi cercle vers le haut.

    On pose : I = [-2 ; +2] et J = [0 ; + 2]. Que pensez-vous des propositions suivantes ? :

    Vrai Faux
    a) f est une application de I vers J ..............................................................❐ ❐
    b) f est une surjection de I sur J..................................................................❐ ❐
    c) f est une injection de I dans J ................................................................❐ ❐
    d) f est une bijection de I sur J ..................................................................❐ ❐

    Tout d'abord je ne comprend pas le graphique, en quoi la racine de 4-x² donne ça ?
    Après c 'est en effet une application et une surjection. Et ce n'est pas une injection et une bijection.
    L'ensemble de départ est bien I donc -2 ; +2 ? et l arrivé J 0 ; +2 ?

    • Si c'est ca c'est bien une surjection car J, ensemble d'arrivé d'arrivé d'arrivé à bien un antécédant de l'ensemble de départ I ? le +2 de J ayant pour antécédant le -2 de I ?

    • Pour l'application : fonction dont l'ensemble de définition est égal à l'ensemble de départ, quel est l'ensemble de définition ?

    • Pour injection je n'ai rien compris du tout

    • Et ensuite pour la bijection je ne comprend pas trop non plus....

    Merci d'avance pour votre aide.



  • Salut

    Si tu traces cette fonction sur ta calculatrice : tu dois trouver pour cfc_f un demi cercle de rayon 2 qui se trouve au dessus de l'axe des ordonnées

    Explicationspour calculer le domaine de définition de la fonction ff : dfd_f :

    Tu es sensé savoir qu'il faut que 4x204-x^2 \ge 0 pour que la fonction ff soit définie

    Comme 4x2=(2x)(2+x)4-x^2 =(2-x)(2+x) , il faut faire une étude de signe pour trouver dfd_f

    Conseil: relis ton cours ou va sur Wikipédia pour bien comprendre ce qu'est
    une application de I dans J ,
    une fonction surjective ou injective de I sur J
    et enfin ce qu'est une bijection de I sur J

    ps)
    Dans cet exo on a : dfd_f =I = [-2 ; +2]

    et f(df)f(d_f) =J = [0 ; + 2].



  • Bonjour,

    fichier math

    En ce qui concerne le graphique :

    y=4x2y=\sqrt{4-x^2}

    Condition d'existence ( déjà vue ) : -2 ≤ x ≤ 2
    necessairementy ≥ 0 ( pour que l'égalité soit possible )

    En élévant au carré ( entre nombres positifs ) :

    y2=4x2x2+y2=4(x0)2+(y0)2=22y^2 =4-x^2 \longleftrightarrow x^2+y^2=4 \longleftrightarrow \fbox{(x-0)^2+(y-0)^2=2^2}

    Tu reconnais l'équation du cercle de centre O(0,0) et de rayon 2.

    Vu que y ≥ 0 , tu obtiens le "demi-cercle supérieur "

    Bien sûr , pour traiter ton exercice , tu aurais pu étudier les variations de la fonctiions f définie par f(x)=4x2f(x)=\sqrt{4-x^2}

    CONSEQUENCES

    f est une application de [-2,2] vers [0,2] car tout élément x de [-2,2] a une image y dans [0,2]

    Pour les propriétés de cette application :

    y=2 a un antécédent unique (x=0)
    Tout y de [0,2[ a deux antécedents

    Donc :

    f et surjective car tout élément y de [0,2] a , au moins , un antécédent x dans [-2,2]

    f n'est pas injectivecar tout élément y de [0,2] n'a pas ****, au plus, un antécédent x dans[-2,2]

    Tu peux conclure quef n'est pas bijective car il faudrait à la fois qu'elle soit surjective et injective ( tout y de [0,2] devrait avoir un et un seul antécédent x dans [-2,2])


 

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