Calcul d'une longueur en utilisant cosinus et Pythagore

[yoline]

Bonjour, pouvez vousm'aidez a cette exercice. RST est un triangle rectangle en S tel que RTS=59° et RS=19 cm. Calculer la longueur ST et donner le resultat arrondi au mm pres. Notre professeur a dit d'utiliser cosinus et pythagore mais je ne sais pas comment faire. Merci a ceux qui m'aideront.

[mtschoon]

Bonsoir,

Piste si tu dois utiliser cosinus et théorème de Pythagore ( il y avait bien plus simple !)

$\cos \widehat{str}=\frac{ts}{tr}$

L'angle étant en degrés :

$\cos 59=\frac{ts}{tr}$

En élevant au carré ( pour utiliser le thérème de Pythagore )

${\cos }^{2}59=\frac{t{s}^2}{t{r}^2}$

${\cos }^{2}59=\frac{t{s}^2}{t{s}^2+s{r}^2}$

En faisant les produits en croix :

$co{s}^{2}59(t{s}^2+s{r}^2)=t{s}^2$

En développant :

$t{s}^{2}co{s}^{2}59+s{r}^{2}co{s}^{2}59=t{s}^2$

En transposant :

$t{s}^{2}co{s}^{2}59-t{s}^2=-s{r}^{2}co{s}^{2}59$

Il te reste à mettre TS² en facteur dans le membre de gauche , obtenir TS² puis prendre la racine carrée pour obtenir TS

( Sauf erreur , tu dois trouver TS≈11,4 cm)

[yoline]

Daccord merci donc sa fait cos²59(TS²+19²)=TS²
Mais je ne sais pas comment trouver TS²

[mtschoon]

C'est TS que tu cherches , alors c'est TS² qu'il faut mettre en facteur et tu remplaces SR par sa valeur

$t{s}^2(co{s}^{2}59-1)=-s{r}^{2}co{s}^{2}59$

[yoline]

Donc sa fait TS²(cos² 59-1) =-19² co²s²59 TS²(cos² 59-1) = -361 cos²59

[mtschoon]

Il faut continuer :

$t{s}^2=\frac{-361co{s}^{2}59}{co{s}^{2}59-1}$

$t{s}^2=...$

$ts=...$

[yoline]

Je ne sais pas comment calculer cos²59, je sais faire cos 59 mais pas au carre

[mtschoon]

J'ignore comment fonctionne ta calculette...

Si tu n'a pas la touche "carré" , tu peux faire cos 59 x cos 59 ≈ 0.2652

Remarque : la méthode demandée avec le théorème de Pythagore est très lourde ! Je suis surprise que ton professeur te l'ai demandée.

Il y a des méthodes beaucoup plus rapides qui évitent cette élévation au carré .

Je t'en indique deux.

Si tu connais la définition de TANGENTE, c'est immédiat :

$tan 59=\frac{sr}{ts}=\frac{19}{{sr}$ donc $\fbox{ts=\frac{19}{tan 59}} \$

Ou bien , en prenant l'angle complémentaire , tu trouves $\boxed{ts=19tan31}$

Si tu ne connais que les COSINUS , SANS utiliser le théorème de Pythagore, c'est presque immédiat :

$\cos 59=\frac{ts}{tr}$ donc $ts=tr\cos 59$

Pour calculer TS sans le théorème de Pythagore , en utilisant

$\widehat{str}=90-59=31$ ( en degrés )

$\cos 31=\frac{sr}{tr}=\frac{19}{tr}$ donc $tr=\frac{19}{cos31}$

Donc :$\fbox{ ts=\frac{19}{cos31}\times \cos 59}$

C'est tout de même plus facile que d'utiliser le théorème de Pythagore !

[yoline]

Oui mais nous avons pas encore vu le chapitre de tangente, esceque tu pourrais maider a calculer -361cos²59/ cos²59-1 car je trouve un resultat tres surprenant qui est de 360

[mtschoon]

La méthode 2) que je t'indique n'utilise que les cosinus ( mais sans Pythagore)

Mais bon , s'il faut impérativement du Pythagore , utilise Pythagore .

Pour le calcul :

$co{s}^{2}59\approx 0.2652$

$t{s}^2\approx \frac{-361\times 0.2652}{0.2652-1}\approx 130.29$

Il te reste à prendre la racine carrée pour avoir TS ( mais j'insiste : cette méthode me plait guère...)

[yoline]

Oui je trouve cette methode plus longue et difficile. Faut il faire √130,29 ? Car quand je fais cela je trouve 1,000467442

[yoline]

Je vais suivre la methode de cosinus sans pythagore comme tu as marque je comprend mieux. Merci beaucoup de m'avoir aider et de m'avoir apris de choses.

[mtschoon]

Attention à ton calcul ! $\sqrt{130.29}\approx 11.4$

Si Pythagore n'est finalement pas imposé , je te conseille effectivement la méthode de "cosinus sans Pythagore" ( en attendant de voir la "méthode tangente" ) et tu trouveras évidemment 11.4 cm comme valeur approchée.

Bon DM !

[yoline]

Oui jai bien trouve ce resultat. Merci

[mtschoon]

De rien.

A+