Calculs de probabilités que les personnes choisies soient vaccinées

Bonjour !
J'aimerais un peu d'aide pour résoudre cet exercice.

Voici l' énoncé :
On admet que la population des personnes de plus de 70 ans est formée de 60% de femmes et de 40% d'hommes. Dans cette population, 70% des femmes et 50% des hommes se font vacciner contre la grippe avant l'hiver.

Quelle est la probabilité pour que, choisissant deux personnes au hasard dans la population des plus de 70 ans, il s'agisse de deux hommes vaccinés.

Merci !

Bonjour,
Calcule le pourcentage, par rapport à la population totale :
de femmes vaccinées,
de femmes non vaccinées,
d'hommes vaccinés,
d'hommes non vaccinés.

D'accord, merci.

Mais comment prendre en compte le fait que l'on choisisse deux personnes dans le calcul ?

Quelle est la probabilité pour une personne d'être un homme vacciné ? si tu as effectué les calculs demandés, tu dois pouvoir répondre.

Je ne comprends toujours pas. La probabilité qu' un homme soit vacciné est de 0.20. Je ne vois pas la fin ...

La probabilité de tirer un homme vacciné est bien de 0.20 ou 1/5
Si les deux tirages se font simultanément, il faut connaître la population totale.
Sinon, on peut considérer que ce sont deux tirages successifs avec remise.
Dans ce cas, la probabilité de tirer deux fois de suite un homme vacciné (donc de tirer deux hommes vaccinés) est de 1/25.
Mais es-tu dans la première ou la deuxième situation ?

La réponse est 0.04 selon la correction ( corrigé sans explication seule al réponse est donnée) mais comment avez-vous fait pour calculer 1.25 ?

Pas 1.25, mais 1/25 = (1/5) × (1/5)
On trouve effectivement 1/25 = 4/100 = 0.04
Mais le problème me semble mal posé (ou alors il manque quelque chose dans l'énoncé).
L'énoncé devrait stipuler que les tirages se font indépendamment et avec remise (ce qui donne des résultats quasiment identiques sans remise mais à condition que la population soit très grande).
Le problème est différent si on tire simultanément les deux personnes (forcément différentes ce qui équivaut à deux tirages sans remise), mais le résultat ne peut être calculé que si on connaît la population : d'ailleurs, il diffère selon cette population.

C'est pour un tirage sans remise que l'on a 1/25 puisque l'on répète n fois de suite de façons indépendantes l' expérience sans remise

Non, on répète n fois (ici 2 fois) de suite la même expérience : donc il faut qu'il y ait remise sinon l'expérience ne se fait plus dans les mêmes conditions.
Exemple, si je lance une fois un dé à 6 faces, la probabilité de sortir 1 est 1/6.
S'il s'agissait d'une expérience sans remise, au second lancé le 1 aurait disparu du dé.

Je vais te proposer une autre solution :
Soit n le nombre d'hommes vaccinés. Comme c'est 1/5 de la population totale, la population totale est 5n
On va calculer la probabilité comme souvent en divisant le nombre de cas "favorables" par le nombre total de tirages.
Cas favorables : on tire 2 personnes parmi n (2 hommes vaccinés) : $C$ n $^2$
Cas totaux : on tire 2 personnes parmi 5n : $C$ {5n} $^2$
La probabilité de tirer deux hommes vaccinés est donc le quotient :
$C$ n $^2$ / $C$ {5n} $^2$
Après simplification, on trouve (n-1)/[5(5n-1)]
Ce résultat n'est jamais égal à 1/25 = 0.04.
Mais quand n tend vers l'infini (on pourrait dire lorsque la population est très grande), ce quotient tend vers 1/25.

Ah oui, de façon indépendante donc avec remise ! Désolé !

Un autre problème :

Une maladie est causée par trois facteurs de risques A,B et C. pour que la maladie survienne on suppose qu'il faut que les trois facteurs soient présents à la fois chez l'individu concerné.
Dans la population à laquelle on s'intéresse, 10% des individus portent le facteur de risque A, 20% portent le facteur de risque B, 50% portent le facteur de risque C.
Ces facteurs sont indépendants.
Quelle est la proportion de sujets malades parmi les sujets qui ont au moins un facteur de risque ?

Messages croisés.
As-tu lu l'autre solution que je te propose ?
Pour le second exercice, je ne vais pas avoir le temps ce soir car je vais me déconnecter.
De toute façon, il vaut mieux poster un nouveau sujet.
J'attends juste que tu répondes à ma question : as tu lu mon autre solution ?

Désolé je n'avais pas lu la solution mais en tous cas merci beaucoup ! Cela m'a l'air d'être ça mais le calcul (1/5)² est beaucoup plus simple !

Ce n'est pas la facilité du calcul qui compte, mais la justesse du raisonnement.
Comme je l'ai dit plus haut, l'énoncé n'est pas suffisamment explicite.
Pour deux tirages avec remise (qui donne le calcul 1/5 ×1/5), qu'est-ce qui prouve qu'on ne va pas tirer deux fois la même personne ? auquel cas on n'aurait plus deux hommes vaccinés !

Et le raisonnement que tu m'as indiqué plus haut correspond-i à un tirage avec ou sans remise ?

Sans remise cette fois : on tire au hasard en même temps deux personnes dans une population de 5n personnes.
Mais comme je te l'ai fait remarquer, on ne peut pas donner le résultat si on ne connaît pas n. Par contre, la limite du résultat quand n tend vers l'infini est 1/25.
Pour une grande valeur de n, on trouve une valeur proche de 0.04, mais pas exactement 0.04.
C'est pourquoi j'insiste: l'énoncé est insuffisant.

D'accord en tous cas merci beaucoup mais sache qu' il s'agit de l'énoncé dans son intégralité. Je suis en PACES et les énoncés sont liés à des réponses sous formes de QCM. Donc finalement par rapport aux autres résultats on comprend qu il s'agit de 0.04 Soit 1/25.