DM de probabilités et suites

[babouille06]

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour demain, et j'ai cet exercice à faire, mais je galère un peu. J'ai à peu près réussi le 1)a., 1)b. et 1)c. mais ensuite je bloque. Merci de votre aide.

Dans une entreprise, les stocks d'un produit varient d'une semaine sur l'autre en fonction de la demande des clients. Ainsi, certains produits très demandés sont approvisisionnés fréquemment, et d'autres plus rarement. Un gestionnaire des stocks a constaté que :
il a approvisionné un produit la 1ère semaine;
s'il l'a approvisionné la n-ième semaine, alors la probabilité qu'il doive l'approvisionner la (n+1)-ième semaine est 0,6;
s'il ne l'a pas approvisionné la n-ième semaine, alors la probabilité qu'il doive l'approvisionner la (n+1)-ième semaine est 0,4.
On note An l'événement «Le gestionnaire des stocks approvisionne le produit la n-ième semaine» et pn = P(An). On note son évènement contraire : Bn.

1. a) Quelle est la valeur de P1 ?
   b) Faire un arbre pondéré en utilisant Pn et des probabilités de l'énoncé.
   c) Exprimer P(An∩An+1), puis P(Bn∩An+1) en fonction de pn.
   d) En déduire l'expression de pn+1 en fonction de pn.
2. u est la suite définie pour tout nombre entier naturel n non nul, par un = pn – 0,5.
   a) Démontrer que la suite u est géométrique et préciser sa raison.
   b) En déduire une expression de pn en fonction de n.
   c) Quelle est la probabilité que le gestionnaire approvisionne le produit la 15ème semaine ?
   d) Déterminer la limite de la suite p. Interpréter le résultat obtenu.