Etude des limites, sens de variation et tangentes d'une fonction

[julie6080]

bonjour, svp pouvez vous m'aider à faire mon exercice ?

on considère la fonction numérique f définie sur R par
f(x) = t - $e\ast {\ast }^{3t-3}$**
et sa courbe représentatrice C dans un repère orthogonal (unités graphique 5cm en absicce et 10 cm en ordonnée)

1/ étudier les limites de la fonction f en + et - l'infini

2/ montrez que la courbe C admet une asymptote oblique D dont on donnera une équation. Préciser la positionde C par rapport à la droite D.

3/ a) Déterminer la fonction dérivée f ' d ela fonction

b) Résoudre l'équation, d'inconnue rélles t, f '(t)=0: on donnera la valeur exacte de la solution puis sa valeur arrondie au centième.

c) Etudier le sens de variation de la fonction f ' et établir son tableau de variation.

d) Déterminer une équation de la tangente Tà la courbe C en son point d'abscisse 1.

e) Tracer les droites D et T et la courbe C dans le repère donné.

Merci d'avance de m'aider

[julie6080]

pour les limites je sais que moins l'infini c'est moins l'infini et plus l'infini c'est plus l'infini mais je ne sais pas comment l'expliquer

[Zauctore]

lorsque t -> - inf/, tu dois savoir que lim $e^{3t-3}$ = 0.
il ne reste plus que la limite de t -> t.

lorsque t-> + inf/, tu peux factoriser par e ${}^{3t}$ pour justifier la limite.

[Zauctore]

pour l'asymptote oblique, il faut faire l'étude en - inf/
f(t) - (at + b) -> 0
pour un certain a et un certain b.

[julie6080]

merci

mais svp, pouvez vous m'aider à faire la question 3/
J'ai réussi à faire la dérivée mais après je ne comprends pas.

[Zauctore]

Ah, t'aurais pu écrire la dérivée que tu as trouvée, quand même !

bon, c'est f '(t) = 1 - 3 $<strong>e</strong{>}^{3t-3}$ .

résoudre f '(t) = 0 équivaut à $<strong>e</strong{>}^{3t-3}$ = 1/3
d'où 3t-3 = - ln 3, etc...

avec la croissance de l'exponentielle et la solution précédente,
tu obtiens le signe de f ' et les variations de f.

[julie6080]

merci mais je n'arrive pas à trouver 1/3 lorqu'on résoud f'(t)=0

[Zauctore]

ah bon...

1 - 3 $<strong>e</strong{>}^{3t-3}$ = 0
equiv/ 1 = 3 $<strong>e</strong{>}^{3t-3}$
equiv/ 1/3 = $<strong>e</strong{>}^{3t-3}$
equiv/ ln(1/3) = 3t-3
etc...

[julie6080]

après pour le tableau de variation
j'ai fait
-inf/ -ln3 +inf/

• 0 -

ensuite pour la question d)
est ce

f(1)= 1-e^0=0 f'(1)= 1-3e^0=-2

donc la tangente a pour équation y= -2(x-1)0 = 2x+2

[Zauctore]

mais attends ! c'était pas fini :
3t-3 = ln (1/3)
equiv/ 3t = 3 - ln 3 equiv/ t = 1 - (ln 3)/3.

[Zauctore]

et c'est y = **-**2x + 2 (attention au signe).