étude de variation, fonction dérivée


  • M

    Bonjour!
    j'ai pour consigne d'étudier les variations de la fonction suivante:
    f(x)= (x+7)(x³-x²+2)

    j'ai donc commencé par dériver cette fonction:
    u= x+7 ===> u'=1
    v= x³-x²+2 ===> v'= 3x²-2x

    formule : si f(x)= u.v alors f'(x)=u'v+uv'

    => f'(x)=1.(x³-x²+2)+ (x+7).(3x²-2x)
    = x³-x²+2+(3x³-2x²+21x²-14x)
    = 4x³+18x²-14x+2

    et à partir de là le 4x³ me déconcerte..
    ce n'est pas la forme d'un polynome du second degré..
    comment étudier son signe ?

    Un grand merci pour votre aide! 😄


  • mtschoon

    Bonjour,

    oui pour f'(x) .

    Il faut factoriser , mais n'aurais-tu pas des questions qui te permettent de le faire ?

    cela est surprenant.

    je t'indique la fatorisation à trouver :

    f'(x)=(4x-2)(x²+5x-1)


  • M

    non, c'est la seule consigne que j'ai reçu..
    merci beaucoup! j'oublie souvent la factorisation, solution de bien des problèmes! 😄
    du coup je trouve 3 solutions, 1/2, (-5-√29)/2, (-5+√29)/2

    et le reste je connais!

    Mais, bien que je comprenne cette factorisation (je l'ai refaite dans l'autre sens..)
    je n'arrive pas à expliquer le raisonnement (passage de forme dvp à factorisée) par de manière explicite. est-il possible de formuler une étape intermédiare pou montrer que j'ai compris ou bien est ce que la formule dvp suivie de factorisée suffit ?


  • mtschoon

    La vérification serait suffisante si la factorisation était donnée dans l'énoncé.

    Je n'arrive pas à croire qu'aucune indication ne soit donnée...

    Si tu connais la méthode par identification , tu peux y arriver.

    Tu justifies que 1/2 est solution "évidente" donc tu peux mettre (x-1/2) en facteur

    4x³+18x²-14x+2=(x-1/2)(ax²+bx+c)

    Tu développes , tu identifies et tu trouveras a , b ,c.


  • M

    malheureusement on ne me l'a jamais apprise en classe :frowning2:
    j'ai cherché sur internet des explications, je crois comprendre le principe mais je n'arrive pas à l'appliquer..

    pourquoi 1/2 est justifiable comme solution évidente ?

    si je développe, ça me donne
    4x³+18x²-14x+2
    =(x-1/2)(ax²+bx+c)
    =ax³+bx²+cx-1/2ax²-1/2bx-1/2c
    =ax³+x²(b-1/2a)+x(c-1/b)-1/2c

    ?

    et donc si ça c'est bon? après je dois faire un système pour identifier a b c ? j'ai du mal à comprendre..

    merci beaucoup pour votre aide et votre temps, je trouve ça génial d'avoir la chance d'être aidé comme ça!


  • mtschoon

    Tu as dû faire une faute de frappe. Le coefficient de x est (c-(1/2)b )

    Tu identifies les coefficients des monômes de même degré .

    $\left{b-\frac{1}{2}a=18\c-\frac{1}{2}b=-14\-\frac{1}{2}c=2\right$

    Tu résous ce système et tu dois trouver ;

    $\text{c=-4 , b=20 , a=4$


  • M

    ai résolu le système,
    => (x-1/2) (4x²+20x-4)
    = (4x-1/2) (x²+5x-1)

    mais ce n'est pas la même factorisation..
    (4x-2) (x²+5x-1)

    et si je redéveloppe
    = (4x-1/2) (x²+5x-1)
    je trouve
    = 4x³+20x²-4x-1/2x²-2,5x+1/2
    =4x³+19,5x²-6,5x+1/2

    c'est normal je retrouve pas 4x³+18x²-14x+2

    comment passer de (x-1/2) à (4x-2)?
    😕


  • mtschoon

    Evidemment , c'est la même factorisation...recompte !

    4x−2=4(x−12)4x-2=4(x-\frac{1}{2})4x2=4(x21)

    donc :

    (4x-2) (x²+5x-1)=4(x-1/2)(x+5x-1)=(x-1/2)[4(x²+5x-1)]=(x-1/2)(4x²+20x-4)


Se connecter pour répondre