étude de variation, fonction dérivée

Bonjour!
j'ai pour consigne d'étudier les variations de la fonction suivante:
f(x)= (x+7)(x³-x²+2)

j'ai donc commencé par dériver cette fonction:
u= x+7 ===> u'=1
v= x³-x²+2 ===> v'= 3x²-2x

formule : si f(x)= u.v alors f'(x)=u'v+uv'

=> f'(x)=1.(x³-x²+2)+ (x+7).(3x²-2x)
= x³-x²+2+(3x³-2x²+21x²-14x)
= 4x³+18x²-14x+2

et à partir de là le 4x³ me déconcerte..
ce n'est pas la forme d'un polynome du second degré..
comment étudier son signe ?

Un grand merci pour votre aide!

Bonjour,

oui pour f'(x) .

Il faut factoriser , mais n'aurais-tu pas des questions qui te permettent de le faire ?

cela est surprenant.

je t'indique la fatorisation à trouver :

f'(x)=(4x-2)(x²+5x-1)

non, c'est la seule consigne que j'ai reçu..
merci beaucoup! j'oublie souvent la factorisation, solution de bien des problèmes!
du coup je trouve 3 solutions, 1/2, (-5-√29)/2, (-5+√29)/2

et le reste je connais!

Mais, bien que je comprenne cette factorisation (je l'ai refaite dans l'autre sens..)
je n'arrive pas à expliquer le raisonnement (passage de forme dvp à factorisée) par de manière explicite. est-il possible de formuler une étape intermédiare pou montrer que j'ai compris ou bien est ce que la formule dvp suivie de factorisée suffit ?

La vérification serait suffisante si la factorisation était donnée dans l'énoncé.

Je n'arrive pas à croire qu'aucune indication ne soit donnée...

Si tu connais la méthode par identification , tu peux y arriver.

Tu justifies que 1/2 est solution "évidente" donc tu peux mettre (x-1/2) en facteur

4x³+18x²-14x+2=(x-1/2)(ax²+bx+c)

Tu développes , tu identifies et tu trouveras a , b ,c.

malheureusement on ne me l'a jamais apprise en classe :frowning2:
j'ai cherché sur internet des explications, je crois comprendre le principe mais je n'arrive pas à l'appliquer..

pourquoi 1/2 est justifiable comme solution évidente ?

si je développe, ça me donne
4x³+18x²-14x+2
=(x-1/2)(ax²+bx+c)
=ax³+bx²+cx-1/2ax²-1/2bx-1/2c
=ax³+x²(b-1/2a)+x(c-1/b)-1/2c

?

et donc si ça c'est bon? après je dois faire un système pour identifier a b c ? j'ai du mal à comprendre..

merci beaucoup pour votre aide et votre temps, je trouve ça génial d'avoir la chance d'être aidé comme ça!

Tu as dû faire une faute de frappe. Le coefficient de x est (c-(1/2)b )

Tu identifies les coefficients des monômes de même degré .

$\left{b-\frac{1}{2}a=18\c-\frac{1}{2}b=-14\-\frac{1}{2}c=2\right$

Tu résous ce système et tu dois trouver ;

$\text{c=-4 , b=20 , a=4$

ai résolu le système,
=> (x-1/2) (4x²+20x-4)
= (4x-1/2) (x²+5x-1)

mais ce n'est pas la même factorisation..
(4x-2) (x²+5x-1)

et si je redéveloppe
= (4x-1/2) (x²+5x-1)
je trouve
= 4x³+20x²-4x-1/2x²-2,5x+1/2
=4x³+19,5x²-6,5x+1/2

c'est normal je retrouve pas 4x³+18x²-14x+2

comment passer de (x-1/2) à (4x-2)?

Evidemment , c'est la même factorisation...recompte !

$4x−2=4(x−12)4x-2=4(x-\frac{1}{2})$

donc :

(4x-2) (x²+5x-1)=4(x-1/2)(x+5x-1)=(x-1/2)[4(x²+5x-1)]=(x-1/2)(4x²+20x-4)