Equation de bernoulli



  • Bonjour;

    J'ai une équation de type Bernoulli que je dois déterminer:

    y=ay2+byy'=ay^2+by
    où a et b sont des constantes.
    alors Y=?


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je vois que tu as déjà une aide sur une autre forum , avec une bonne indication z=1/y.

    C'est la piste que je t'aurais donnée...



  • Oui, la même réponse sur l'autre forum
    mais j'ai pas eu toute la solution.
    comment j'arrive à résoudre équation linéaire y=?
    changement de variable: z=1/y
    z'=-az-b
    facteur intégration:m(x)=exp(eax)=eaxm(x)=exp (\int e^{ax})=e^{ax}

    on multiplie par ((zeax+aeax)dx=beaxdx(z'e^{ax}+ae^{ax})dx=-be^{ax} dx
    =baeax+c=\frac{-b}{a}e^{ax}+c

    donc
    $y=\frac{a}{-b+ace^{-ax}$

    comment je détermine C =?


  • Modérateurs

    Sur un forum d'aide , on ne donne pas la solution !
    On donne des indications pour guider le demandeur , mais c'est à lui de faire le travail !

    La constante se détermine avec une condition initiale.

    Je te conseille de revoir tes calculs pour trouver l'équation différentielle linéaire de variable z , si l'équation de départ est vraiment y'=ay²+by...comme tu l'as écrit ici.

    Sur l'Ile tu as écrit y'=ay+by² ....avec la même réponse z'=...

    Tu fais donc des confusions ! ! !

    Reste sur un seul forum pour dialoguer , Merci ! ! !



  • Ok, pardon pour les confusions la forme de la fonction est la même a et b des constantes et la fonction Y dépend de la variable 'X'.
    1- Transformer l'équation de Bernoulli à une équation différentielle linéaire:
    1- solution que j'ai trouvé:
    divisons par y2y^2
    on obtient y2y+ay1=by1y^{-2}y'+ay^{-1}=by^{-1}
    par le changement de variable z'=1/y
    d'où la dérivée des 2 membres de la fonction: z=yy2z'=-yy^{-2}substitutions ces transformations dans l'équation on trouve=(ay+by2)y2=-(ay+by^2)y^{-2}=z=azbz'=-az-b
    y=ceaxbay=ce^{-ax}-\frac{b}{a}
    2- solution par intégration solution: y=ab+aceaxy=\frac{a}{-b+ace^{ax}}

    la quelle des deux solutions je dois tenir?

    ok, pour la constante je pose y(0)=0 si solution 1: c=bac=\frac{b}{a}

    pour solution 2 C= 0


  • Modérateurs

    Au final , c'est donc dey'=ay+by² dont il s'agit ! ! !

    Donc , z'=-az-b

    Ensuite , tu mélanges z avec y

    $\text{z=ce^{-ax}-\frac{b}{a}$

    D'où :

    $\text{\frac{1}{y}=ce^{-ax}-\frac{b}{a}$

    Ensuite , tu prends l'inverse pour avoir y

    *Remarque : pour déterminer éventuellement la valeur de la constante , ce n'est pas à toi à inventer une condition , elle doit être donnée dans l'énoncé. *



  • Merci c'est gentil de votre part.


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