R-espace vectoriel: donner une base


  • P

    Bonjour, voilà je rentre en MP et je révise en faisant quelque exercice. Cependant, je bloque sur l'un d'entre eux et j'aurai besoin d'aide.

    Soit E l'ensemble des applications f:R→R telles qu'il existedes réels a,b et c pour lesquels ∀x∈R f(x)=acos(x)cos(2x)+bsin(x)sin(2x)+c*cos(x)

    Démontrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et en donner une base.

    Alors voilà ce que j'ai:
    E={f∈rr/∃(a,b,c)∈r3∀x∈rf(x)=a<em>cos(x)cos(2x)+b</em>sin(x)sin(2x)+c∗cos(x){{f\in r^{r}/\exist (a,b,c)\in r^{3}\forall x\in r f(x)=a<em>cos(x)cos(2x)+b</em>sin(x)sin(2x)+c*cos(x)}}frr/(a,b,c)r3xrf(x)=a<em>cos(x)cos(2x)+b</em>sin(x)sin(2x)+ccos(x)}

    J'ai démontré sans problème qu'il s'agissait d'unespace vectoriel.
    Par contre pour définir une base j'ai un peut de mal.
    J'ai posé e1=cos(x)cos(2x) , e2=sin(x)sin(2x) et e3=cos(x)
    Je voulais montrer que (e1,e2,e3) est libre mais ça ne marche pas et j'ai pas d'autres idées en tête.

    Cela serait bien gentil de me donner quelque piste 😉 Merci


  • mtschoon

    Bonjour,

    Une suggestion ,

    Si tu ne l'as pas déjà fait , tu peux transformer les produits de sinus et les produits de cosinus en sommes avec les formules usuelles :

    cosacosb=12[cos(a−b)+cos(a+b)]cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]cosacosb=21[cos(ab)+cos(a+b)]
    sinasinb=12[cos(a−b)−cos(a+b)]sinasinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]sinasinb=21[cos(ab)cos(a+b)]

    f(x) sera écrit sous la forme Acosx+Bcos3x

    Essaie ensuite de démontrer que (x->cosx , x->cos3x) est une partie libre et génératrice de E


  • P

    En effet, j'y avais pensé mais je ne l'avais pas fait pensant que ça ne marcherait pas mais finalement ça marche très bien.
    Merci beaucoup de votre aide 🙂


  • mtschoon

    De rien , et bonne préparation de ta rentrée !


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