R-espace vectoriel: donner une base

Bonjour, voilà je rentre en MP et je révise en faisant quelque exercice. Cependant, je bloque sur l'un d'entre eux et j'aurai besoin d'aide.

Soit E l'ensemble des applications f:R→R telles qu'il existedes réels a,b et c pour lesquels ∀x∈R f(x)=acos(x)cos(2x)+bsin(x)sin(2x)+c*cos(x)

Démontrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et en donner une base.

Alors voilà ce que j'ai:
E={ $f∈rr/∃(a,b,c)∈r3∀x∈rf(x)=a<em>cos(x)cos(2x)+b</em>sin(x)sin(2x)+c∗cos(x){{f\in r^{r}/\exist (a,b,c)\in r^{3}\forall x\in r f(x)=a<em>cos(x)cos(2x)+b</em>sin(x)sin(2x)+c*cos(x)}}$ }

J'ai démontré sans problème qu'il s'agissait d'unespace vectoriel.
Par contre pour définir une base j'ai un peut de mal.
J'ai posé e1=cos(x)cos(2x) , e2=sin(x)sin(2x) et e3=cos(x)
Je voulais montrer que (e1,e2,e3) est libre mais ça ne marche pas et j'ai pas d'autres idées en tête.

Cela serait bien gentil de me donner quelque piste Merci

Bonjour,

Une suggestion ,

Si tu ne l'as pas déjà fait , tu peux transformer les produits de sinus et les produits de cosinus en sommes avec les formules usuelles :

$cosacosb=12[cos(a−b)+cos(a+b)]cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]$
$sinasinb=12[cos(a−b)−cos(a+b)]sinasinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]$

f(x) sera écrit sous la forme Acosx+Bcos3x

Essaie ensuite de démontrer que (x->cosx , x->cos3x) est une partie libre et génératrice de E

En effet, j'y avais pensé mais je ne l'avais pas fait pensant que ça ne marcherait pas mais finalement ça marche très bien.
Merci beaucoup de votre aide

De rien , et bonne préparation de ta rentrée !