f(x²)=f(x) - continuité -

(Supérieur)

Bonjour,

J'ai une 30taine d'affirmations pour lesquels je dois indiquer si elles sont vraies ou fausses et justifier par une démonstration ou un contre exemple mais pour la suivante je ne sais pas vraiment comment m'y prendre:
Les fonctions f:R+->R+ continues à droite en 0 et 1 vérifiant la relation f(x)=f(x^2) pour tout x≥0, sont les fonctions de la forme f=a1[0,1[+b1[1,+∞[ avec a,b ∈ R+

Merci d'avance

Bonjour,

Je te soumets seulement mes réflexions mais je ne peux pas te répondre précisément car je ne sais pas ce que veut dire ton écriture
"f=a1[0,1[+b1[1,+∞[" ...

f semble constante sur chacun des intervalles [0,1[ et [1,+∞[

Idée :

Sur chacun de ces intervalles , tu peux construire une suite constante .
Par passage à la limite ( lorsque n tend vers +∞ ) , en utilisant la continuité indiquée , tu peux trouver la valeur de la constante.

Pour x ∈[0,1[

$f(x)=f(x^2)=f(x^4)=f(x^8)=...=f(x^{2^n})=....=f(0)$

Pour x∈[1,+∞[

$f(x)=f(x12)=f(x14)=f(x18)=...=f(x12n)=....=f(1)f(x)=f(x^{\frac{1}{2}})=f(x^{\frac{1}{4}})=f(x^{\frac{1}{8}})=...=f(x^{\frac{1}{2^n}})=....=f(1)$

Vois ce que tu peux faire avec cela...

Je ne comprends pas ta logique..

Je ne connais pas ta question réellement et tu ne m'as toujours pas dit la signification de : "f=a1[0,1[+b1[1,+∞["

Je vais tenter de te détailler un peu mon idée ( si elle peut t'être utile ) pour prouver que f est constante sur chacun des deux intervalles :

Idée : Fabriquer une suite $U_n$ ) telle que $f(U_n$ )) soit constante , donc convergente vers son 1er terme $f(U_0$ )
Si $U_n$ ) converge vers l et f soit continue en l , alors $f(U_n$ )) converge vers f(l)
Par unicité de la limite : $f(U_o$ )=f(l)

Dans le 1er cas, je suppose ( ? ? ? ) que tu est d'accord sur les égalités :

$f(x)=f(x^2)=f(x^4)=f(x^8)=...=f(x^{2^n})$

Par passage à la limite , lorsque n tend vers +∞ , $x^{2^n}$ tend vers 0 par valeurs positives , et par continuité à droite de f , $f(x^{2^n})$ tend vers f(0)

Même démarche pour le 2eme cas.

Le problème c'est que nous n'avons eu aucune informations de plus, j'irai voir le prof pour lui demander au cours prochain..

Mais pourquoi y-t-il un deuxième cas avec $f(x)=f(x^{1/2}$ ) ?

Dans ma suggestion , il faut choisir deux suitesjudicieuses pour aboutir ...une dans chaque cas.

Regarde de près ( fais un axe et place les termes pour bien réaliser où ils se trouvent )

Essaie d'utiliser la première suite dans le second cas et tu verras que tu ne trouveras pas la valeur de la constante ). Il faut prendre une autre suite ( qui respecte évidemment l'hypothèse f(x²)=f(x) ) pour le second cas .

Avec la suite choisie dans le second cas , lorsque n tend vers +∞, $1/2^n$ tend vers 0 , $x^{1/2^n}$ tend vers 1 par valeurs supérieures à 1 et par continuité à droite, $f(x^{1/2^n})$ tend vers f(1) ( et le tour est joué...)

Cela ne dit toujours pas ce que veut direexactementla question de l'énoncé !

Je t'ai fait ma suggestion en me disant que , peut-être ( ? ) , il fallait comprendre que f(x) valait $a_1$ sur l'intervalle [0,1[ et $b_1$ sur l'intervalle [1,+∞[
Ainsi , $a_1$ =f(0) et $b_1$ =f(1)
Si c'est ça , l'affirmation est vraie.

A suivre...lorque tu sauras ce que veut dire la question posée...

Je n'ai pas encore vu mon prof d'amphi, mais d'après mon prof de TD "f=a1[0,1[+b1[1,+∞[" voudrait dire que la suite a est égale à 1 lorsque x appartient à [0,1[ sinon c'est égale 0 et de même pour b qui est égale 1 sur [1,+∞[

Je reste perplexe sur l'indication qui t'a été donnée...

Rappel :

$\text{\for x \in [0,1[ f(x)=f(0) f constante sur cet intervalle$

$\text{\for x \in [1,+\infty[ f(x)=f(1) f constante sur cet intervalle$

A toi de voir ce que tu devras répondre à la question si un jour tu finis par savoir ce qu'elle veut dire.

Pour ma part , je ne peux pas faire mieux.

Bon courage !