Suites Prépa

[Wuassyla]

Bonjour je suis en prépa et j'aurais besoin d'aide sur un devoir que l'on nous a donné en cours et je bloque vraiment beaucoup je ne sais pas comment aborder l'exercice . Quelqu'un pourrait me dire comment corrigé l'exercie 1 de ce sujet :

On considère les deux suites (an) et (bn) définies à l'aide de leurs premiers termes a0=0 et b0=1 et les relations :
an+1=2xan+bn et bn+1=2xbn pour tout entier n E N
1 ) Justifier que (bn) est une suite remarquable. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de bn en fonction de n
Etablir que pour tout entier naturel n, on a : an+1=2xan + 2^n
2) Soit (cn) la suite définie par cn= an/2n
a) Justifier que (cn) est arithmétique de raison 1/2 et donner son premier terme
b) En deduire une expression de cn en fonction de n pour tout entier naturel n
c) Déduire des questions précédentes que pour tout entier nEN on a an=nx 2 ^n-1
Merci d'avance Sourire
J'ai reussi la 1 mais a la 2 je bloque
Reponse: 1
bn+1= 2bn donc c'est une suite arithmétique de raison 2 et son premier terme est 1 soit Bn en fonction n est : bn=1x2^n donc 2^n j'ai donc reussi a etablir que an+1=2xan + 2^n mais la 2 je bloque

[mtschoon]

Bonjour,

Il semble y avoir une erreur dans ton énoncé ( d'où ta difficulté à la 2)

Ne serait-ce pas plutôt :

$c_n=\frac{a_n}{2^n}$ ?

Avec cette modification :

$c_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{2a_n+2^n}{2^{n+1}}=\frac{2a_n}{2^{n+1}}+\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}=c_n+\frac{1}{2}$